Addition och subtraktion av negativa tal

I tidigare lektion tittade vi på hur man med ”vita och blå lådor” kan visualisera negativa tal. I denna lektion går vi igenom regler för att addera och subtrahera negativa tal.

Följande gäller för addition och subtraktion med negativa tal.

Vi kan sammanfatta det med följande skrivning.

I tidigare lektion tittade vi på olika betydelser för minustecknet. Dels som tecken för räkneoperationen subtraktion, dels för att beteckna negativa tal och dels för att beteckna motsatt tal.

Detta kan självklart bidra till en viss förvirring. Men vi ska här försöka att förtydliga beräkningar med negativa tal och börjar med addition med negativa tal.

Att addera något negativt resulterar i att summan minskar. Kanske kan bilden av en negativt inställd människa hjälpa dig. Tänk dig att du befinner dig i ett rum där stämningen är positiv. In kommer nu denna negativt inställda person. Du lägger alltså till någon negativt. Hur påverkar detta stämningen i rummet? Stämningen blir mindre positiv, den minskar.

Så här tecknas räkneregeln.

Vi tittar på ett exempel.

Det motsatta talet till $-2$−2 är $2$2 eftersom att summan av dessa tal är $0$0.

Vi kan på tallinjen illustrera detta som att vi utgår från talet $10$10. Att addera $-2$−2 är detsamma som att subtrahera med $2$2 vilket innebär att vi förflyttar oss två steg åt vänster på tallinjen.

Vi landar då på talet $8$8.

Men blå och vita rutor, där de blå är positiva tal och vita negativa tal, kan vi illustrera det så här.

Vi utgår från tio blåa rutor som motsvarar det positiva talet $10$10.

Vi adderar sedan två vita rutor vilket motsvarar $+\left(-2\right)$+(−2).

Två blå och två vita rutor tar ut varandra

vilket resulterar i att vi har kvar åtta blåa rutor, vilket motsvarar värdet $8$8.

Det motsatta talet till $-4$−4 är $4$4 eftersom att summan av dessa tal är $0$0.

Vi kan på tallinjen illustrera detta som att vi utgår från talet $1$1. Att addera $-4$−4 är detsamma som att subtrahera med $4$4 vilket innebär att vi förflyttar oss fyra steg åt vänster på tallinjen.

Vi landar då på talet $-3$−3.

Men blå och vita rutor kan vi illustrera det så här.

Vi utgår från en blå ruta som motsvarar det positiva talet $1$1.

Vi adderar sedan fyra vita rutor vilket motsvarar $+\left(-4\right)$+(−4).

En blå och en vita rutor tar ut varandra

vilket resulterar i att vi har kvar tre vita rutor, vilket motsvarar värdet $-3$−3.

Att subtrahera ett negativt tal resulterar i att differensen blir ett större tal. Vi leker med tanken av en negativt inställd person igen. Nu befinner du dig i ett rum där stämningen är ganska negativ på grund av en negativt inställd person. Plötsligt lämnar denna negativt inställda person rummet. Du drar alltså ifrån någon negativt. Hur påverkar detta stämningen i rummet? Stämningen blir mindre negativ, den ökar.

Så här tecknas räkneregeln.

Vi använder regeln och skriver om uttrycket.

Ett sätt att försöka förstå hur subtraktion med ett negativt tal kan ge ett större resultat än ursprunget är att utnyttja hur vi ibland gör för att förenkla huvudräkningen.

Om vi ska beräkna $124-97$124−97  kan vi underlätta beräkningen genom att addera tre till båda termerna. Detta eftersom att det är ”lättare” att subtrahera hundra än nittiosex. Differensen kommer att bli densamma, eftersom att du lägger till lika mycket till den första termen som till den andra termen som du subtraherar.

Vi får att $\left(124+3\right)-\left(97+3\right)=127-100=27$(124+3)−(97+3)=127−100=27

Samma metod kan nu användas för att underlätta förståelsen av subtraktion med ett negativt tal. Vi löser exempel 3 igen på detta sätt.

Vi kan illustrera detta som att vi utgår från talet $12$12 på tallinjen.

Att subtrahera $-3$−3 är detsamma som att addera med $3$3 vilket innebär att vi förflyttar oss tre steg åt höger på tallinjen.

Vi landar då på talet $15$15.

Summan kan illustreras som avståndet mellan talen $12$12 och $-3$−3.

Vi illustrerar det igen med blåa och vita rutor, där de blå är positiva tal och vita negativa tal.

Vi utgår från tolv blåa rutor som motsvarar det positiva talet $12$12 .

För att kunna subtrahera en negativ trea, dvs stryka tre vita rutor, lägger vi till tre blå och tre vita rutor, en så kallad inskjuten nolla. Eftersom att deras sammanlagnlagda värde är $0$0 så har vi inte ändrat uttryckets sammanlagda värde.

Nu kan vi stryka tre vita lådor som alltså motsvarar  $-\left(-3\right)$−(−3)

och se att kvar har vi femton blå rutor vilket motsvarar summan $15$15.

Observera att regeln bara gäller för tecken i följd. Inte när termerna har olika tecken.

Vi kan illustrera detta som att vi utgår från talet $-5$−5. Om vi adderat  $-5$−5 hade vi flyttat fem steg åt vänster, med när vi subtraherar $-5$−5 går vi istället åt motsatt riktning. Vi går fem steg åt höger på tallinjen och hamnar på $0$0.

Avståndet mellan talen är $5$5.

Teckenväxlingen sker alltså endast då tecknen är i följd vid addition och subtraktion.

Här utgår vi från $-5$−5  och går ytterligare fem steg åt vänster och hamnar på $-10$−10.

Med hjälp av beräkningar på vissa räknare kan man undersöka de olika betydelserna, eftersom att betydelserna ofta har lagts in på varierande sätt. Ofta har du en knapp för räkneoperationen subtraktion och en annan för den negativa beteckningen. Om du använder ”fel” knapp vid fel tillfälle kommer räknaren att reagera.

Här har vi samlat reglerna för beräkningar med de fyra räknesätten och negativa tal .

I kommande lektion tittar vi på multiplikation och subtraktion med negativa tal.

• Beräkna $(2) + (-5)$
• Beräkna $-2 – (-5)$
• Beräkna $7 – (-4)$
• Beräkna $-8+(-7)$