Substitutionsmetoden

Simon Rybrand (Moderator)

2019-10-11

Hej, vi gör rätt men säger fel 😉
Vi korrigerar det på momangen

David Admin (Moderator)

2019-05-08

Hej Gabrielle.

Du byter ut, eller som man säger med matematiska ord: substituerar, $y$:et i den nedre ekvationen mot talet $4$ och löser sedan ekvationen. Så här:

$\begin{cases} y=4 \\ 2x+y=8 \end{cases}$

ger att

$2x+4=8$ subtrahera båda leden med $4$
$2x=4$ dela båda leden med $2$
$x=2$

Lösningen på ekvations systemet är alltså
$\begin{cases} y=4 \\ x=2 \end{cases}$

vilket innebär att båda ekvationerna stämmer för dessa värden och att de två linjerna
$y=4$ och $2x+y=8$ skär varandra i punkten $(2,4)$.

Hoppas det svaret hjälpte dig.

Anna Admin (Moderator)

2019-03-27

Hej.
Vi använder substitutionsmetoden, men additionsmetoden eller grafisk lösning skulle gå precis lika bra.

$\begin{cases} 0,8x+2,5y=39 \,\,\,\,(1)\\ 2x+3,4y=86 \,\,\,\,(2) \end{cases}$

Först löser vi ut en variabel. Jag väljer $x$ ut översta ekvationen (1)

$0,8x+2,5y=39$ Subtrahera $2,5y$ i båda leden
$0,8x=39-2,5y$ Dividera båda leden med $0,8$ för att få en (hemlig) etta framför $x$
$x=48,75-3,125y$

Substituera (sätt in)$x$ i (2)

$2x+3,4y=86$ då $x=48,75-3,125y$ ger att
$2(48,75-3,125y)+3,4y=86$
$2(48,75-3,125y)+3,4y=86$
$97,5-6,25y+3,4y=86$
$97,5-2,85y=86$ Addera båda leden med $2,85y$
$97,5=86+2,85y$ Subtrahera båda leden med $86$
$11,5=2,85y$ Dividera båda leden med $2,85$
$y≈4,04$

Sätt nu in ditt värde på $y$ i (1) för att beräkna $x$
$0,8x+2,5\cdot4,04=39$
$0,8x+10,1=39$ Subtrahera båda leden med $10,1$
$0,8x=28,9$ Dividera båda leden med $0,8$
$x≈36,1$
Vi får att ekvationssystemets lösning är

$\begin{cases} x≈36,1\\ y≈4,04 \end{cases}$

Hoppas detta gick att förstå! Lycka till.

Simon Rybrand (Moderator)

2018-09-24

Enklast är att lösa ut x i den nedre ekvationen, dvs att $x=5$.
Sedan sätter du in det i den övre och löser ut y.

Johnny Johansson

2016-11-06

Kanske ska tillägga vad frågan var!

Peter kör ett 45 minuter långt träningspass i ett gym med dels en roddmaskin och dels en spinningcykel.
När han använder roddmaskinen förbrukar han 8,3kcal/min och med spinningcykeln 5,9kcal/min.
Han vill totalt förbränna 300 kcal under sitt träningspass.

a) Inför lämpliga variabler och ställ upp ett ekvationssystem som kan användas för att beräkna hur lång tid Peter bör träna vid varje maskin.

b) Hur lång tid ska han tillbringa vid varje maskin?

Simon Rybrand (Moderator)

2016-11-07

Kika på det här steget
8,3x+265,5-5,9x=300 –> Lägger ihop x
14,2x+265,5=300 –> Flyttar över 265,5
(8,3x-5,9x = 2,4x)

Simon Rybrand (Moderator)

2016-02-18

Hej
Det spelar ingen roll vilken ekvation som du väljer att skriva om.
När du skriver om funktionen (löser ut y) så skall du istället gör på följande vis:
$2x-2y=4$
Addera VL och HL med 2y
$2x=4+2y$
Subtrahera VL och HL med 4
$2x-4=2y$
Dela alla termer med 2
$x-1=y$ eller $y=x-1$
Hoppas att detta hjälper dig att förstå!

Simon Rybrand (Moderator)

2016-01-20

Hej
Där kan du multiplicera ekvation (1) med $3$ och ekvation (2) med $-2$ så att du får ekvationssystemet
(1) 6x+6y=12
(2) -6x+4y=-2
Nu kan du använda additionsmetoden och addera ihop ekvationen så att variabeln x elimineras. Då går det att först lösa ut y och sedan x. Hoppas att det hjälper dig vidare!

Alexander Giang

2016-01-20

Jadå! Tack så mycket!

Simon Rybrand (Moderator)

2015-11-24

Tack! Jag fixar det!

Simon Rybrand (Moderator)

2015-11-14

Hej
Du kan exempelvis lösa ut x först i den översta ekvationen.
Då får du $x = 23 -2y$
Detta sätter vi sedan in i den nedersta ekvationen och då får vi
$(23-2y)·y=65$
$23y-2y^2=65$
$2y^2-23y-65=0$
$y^2-11,5y-32,5=0$
När du löser denna ekvation så kan du använda dig av pq formeln. Du får här två stycken lösningar, när har dessa så fortsätter du med att lösa ut x.

Simon Rybrand (Moderator)

2015-03-24

Du kan ju både använda substitutionsmetoden och additionsmetoden när du löser detta, vilken metod som du använder bestämmer du själv och vad du tycker är enklast och snabbast.
Om du använder substitutionsmetoden här så kan du lösa ut x i den andra ekvationen så att du får
$x = 3y-8$.
Nu sätter du in detta i den första ekvationen och du får då
$3(3y-8)+2y=9 ⇔$
$9y-24+2y=9 ⇔$
$11y=33 ⇔$
$y = 3$
Detta ger då att
$x = 3⋅3-8=1$
Testa gärna att lösa ekvationsssystemet med additionsmetoden också så kommer du att märka vilken metod som du tycker är enklast vid dessa typer av system av ekvationer.

Simon Rybrand (Moderator)

2015-02-27

Är det ekvationen $10^x = 250$= Detta är en exponentialekvation som du kan använda logaritmer för att lösa, kika gärna på denna video video.

Lösningen skulle kunna se ut så här:
$10^x = 250⇔$ (logaritmera)
$lg10^x=lg250⇔$ (logaritmlag)
$xlg10=lg250⇔$ (lg10=1)
$x=lg250≈2,397$

Simon Rybrand (Moderator)

2015-02-09

Det är nog smidigast att använda sig av additionsmetoden på denna uppgift. Du kan då göra så att du först multiplicerar den översta ekvationen med (-1) så att du får
$\begin{cases} -3x-4y=1 \\ 3x+2y=1 \end{cases}$
Sedan adderar vi de bägge ekvationerna så att x elimineras:
$\quad -3x-4y=1$
$+\quad 3x+2y=1$
$——————–$
${-3}x+3x-4y+2y=1+1$
${-2}y=2$
$y=-1$
Sedan kan du med hjälp av detta lösa ut x

Simon Rybrand (Moderator)

2014-12-09

Hej
Jag kan visa det första så kan du göra på samma vis med det andra ekvationssystemet.
$(1) 2x+3y=8$
$(2) 4x+y=-4$
Lös ut y i ekvation (2)
$y=-4-4x$
Sätt in i ekvation (1)
$2x+3(-4-4x)=8⇔$
$2{x}-12-12x=8⇔$
$-12-10x=8⇔$
$-10x=20⇔$
$x=-2$
Sätt in i (2)
$y=-4-4⋅(-2)=-4+8=4$
Svar: $x = -2$ och $y=4$

Simon Rybrand (Moderator)

2014-10-12

Hej, där kan du sätta att
$2x+3=3x-4 ⇔$ (-2x och +4)
$7=x$
Då vet du att $x=7$ och att $y=3⋅7-4=21-4=17$
Du kan även räkna ut y genom den andra ekvationen $y=2⋅7+3=14+3=17$.
Hoppas att detta hjälper dig!

Simon Rybrand (Moderator)

2014-09-11

Hej
Bägge fungerar att använda till alla ekvationssystem men ibland passar additionsmetoden bättre och ibland substitutionsmetoden. När du har gjort ett antal exempel och lärt dig bägge metoderna så kommer du enklare att se vilken metod som är smidigast att använda.

Simon Rybrand (Moderator)

2014-07-18

Hej, Har du provat att rita ut de bägge funktionerna i en grafritande räknare eller något datorprogram/webbsida?

$y = x$ är annars en linje som går genom origo och har lutningen $1$. Dvs för varje steg du går i x-led (åt vänster) så kommer du ett steg uppåt i y-led.

Simon Rybrand (Moderator)

2014-04-22

Hej,
Du skall antagligen rita ut detta i din grafritande räknare. Det finns oändligt antal lösningar till den ekvationen och alla dessa lösningar kan representeras med hjälp av en linje. Så du kan helt enkelt rita ut linjen
$2y = 3x ⇔$ (dela med 2)
$y = 1,5x ⇔$
Detta gör du genom att gå till Y= och fylla i 1.5X och sedan trycka på GRAPH.

Simon Rybrand (Moderator)

2014-04-07

Där är det nog enklast att använda substitutionsmetoden, dvs att du använder att y=2x+1 och sätter in detta i den andra ekvation så att du får
$3x + 2(2x+1)=21⇔$
$3x + 4x+ 2 = 21⇔$
$7x = 19$
$x = 19/7$
Då kan du sätta in detta i den första ekvationen och får att
$y = 2⋅(19/7) +1 = 45/7$

Simon Rybrand (Moderator)

2013-12-19

Hej, dessa två linjer har samma lutning och därmed har du inga lösningar på det ekvationssystemet, de kommer alltså aldrig att skära varandra.

Simon Rybrand (Moderator)

2013-10-13

Hej,
Det är alltså D som stämmer så jag visar exemplet med detta alternativ.
(1) y = –x – 4
(2) y = x

Sätt (1) = (2)
$-x-4=x$
$2x=-4$
$x = -2$

Från (2) vet vi att y = x så y = -2, dvs bägge koordinater är negativa.

annelie.b

2013-10-16

Tack!! 🙂

Simon Rybrand (Moderator)

2013-09-09

Hej,
Det spelar egentligen ingen roll vilken du använder för att substituera med. Det brukar dock vara så att någon av ekvationerna är enklare att lösa ut en variabel i (om det inte redan är klart). Så försök att fundera lite på vilken av ekvationerna som är enklast att börja med. Man lär sig också efter ett tag hur man börjar enklaste.

johana_lahti

2013-09-15

Jag förstår hur själva substitutions metoden går till, men sen när jag ska använda mig av metoden förstår jag inte hur jag ska börja och väldigt svårt med att använda mig av den. Hur ska jag tänka? Hur vet jag hur man börjar? Förstår allt när ni visar i videon men inte när jag får ett tal.

Simon Rybrand (Moderator)

2013-09-16

Det kan vara lite svårt att förklara så här i text men jag tror att det kan vara viktigt att förstå att det egentligen inte spelar så stor roll hur man egentligen börjar att lösa ekvationssystemet. Det blir bara lite olika många steg beroende på hur man börjar. En metod att följa kanske kan vara följande:

1) Finns det någon variabel i de bägge ekvationerna som står ensam? Tex x, y eller a (och alltså inte 3x, -4y eller 10a). Börja i så fall att lösa ut denna variabel.
2) Om det inte finns en sådan variabel bestäm dig för en som du vill lösa ut. Det kan vara lite olika svårt att göra det men det spelar egentligen ingen roll så länge du klarar att lösa ut den själv. Dvs du vill få den skriven enligt x = …. eller y = …
3) Byt nu ut den variabeln (substituera) i den andra ekvationen och lös den uppkomna ekvationen (med endast en okänd).
4) Sätt in ditt värde och lös ut den andra ekvationen.

Hoppas att denna diskussion hjälper dig vidare med din inlärning!

annelie.b

2013-08-11

PS det vore bra och användarvänligt om ni la till en funktion som gör att man får ett mail med en notis när någon har svarat på en kommentar som man har skrivit, istället för att man ska gå in och hålla koll efter svar. /Annelie

Simon Rybrand (Moderator)

2013-08-12

Hej Annelie,
Här kan man tänka på två olika sätt. Det ena är att vi multiplicerar både VL och HL med (-1) och då ser det ut så här:
-x = 5 ⇔ (mult. med -1)
-x⋅(-1) = 5⋅(-1) ⇔
x = -5

Vi kan också addera med x och subtrahera med k och då ser det ut så här:
-x = 5 ⇔ (+x)
-x+x = 5+x ⇔
0 = 5+x ⇔ (-5)
-5 = x eller x = -5

Bägge sätten syftar till att få fram positiva x = något för att det skall vara tydligt vad x är.

P.S Håller med om att det vore en bra funktion med ett notifikationscenter. Skall kolla om detta går att ordna!

Simon Rybrand (Moderator)

2013-05-24

Hej Patrik, här kan du sätta de bägge ekvationerna lika med varandra:
3x-4 = x+4 ⇔
2x=8
x=4
Sedan sätter vi in x – värdet för att beräkna y – värdet enligt
y = 4 + 4 = 8

nti_ma2

2013-05-24

tack som fasen, detta kan ha räddat min helg som kommer behöva spenderas i mattens tecken;)

Simon Rybrand (Moderator)

2013-03-14

Hejsan, eftersom du här redan känner till värdet på variabeln y så kan du sätta in det värdet i den första ekvationen så att du får:
5 = x + 2
x = 3
Det blir helt enkelt lite mindre steg för att lösa en sådan uppgift.

Simon Rybrand (Moderator)

2012-12-13

Hej Anna,
Tyvärr tycker jag att det är svårt att ge sådana mönster som fungerar för alla olika fall. Då blir det lätt fel tips istället.
Det jag tror är det bästa sättet för att känna att man förstår linjära ekvationssystem är att först träna mycket på linjära ekvationer med en variabel, sedan titta på många olika lösningar (gjorda av andra) och sedan träna på dessa ekvationer om och om igen. Då tror jag att man till slut förstår dem och lär sig att snabbare lösa dem.

Simon Rybrand (Moderator)

2012-05-15

Hej, är du säker på att det var just ekvationen?
Vanligtvis brukar denna frågeställning dyka upp i samband med när man jobbar med andragradsekvationer.

Men om vi jobbar lite med ekvationen så får vi ändå följande:
$45ax – 27 = 3 \cdot 2 \Leftrightarrow$
$45ax – 27 = 6 \Leftrightarrow$
$45ax = 33 \Leftrightarrow$
$x = \frac{33}{45a}$

Här kan tex a inte vara lika med 0 då vi därmed får ett högerled där vi dividerar med 0 (odefinierat).

friflygare

2012-05-15

Ja du har rätt. Såg att när jag kopiera in så blev det lite fel. Ska alltså vara.

45ax – 27 = 3x^2

Simon Rybrand (Moderator)

2012-05-16

Denna ekvation behöver du skriva om först och sedan använder du pq formeln för att lösa den. Sedan är målet att hitta de a där du inte behöver ta roten ur ett negativt tal, dvs då det inom roten ur tecknet är positivt.
$45ax – 27 = 3x^2$ (/3)
$15ax – 9 = x^2$ (-15ax)
$– 9 = x^2 – 15ax$ (+9)
$0 = x^2 – 15ax + 9$
$x^2 – 15ax + 9 = 0$
Härifrån använder du alltså pq – formeln som du hittar mer information om här
Fortsätt gärna fråga där istället då denna frågeställning passar bättre där.

Simon Rybrand (Moderator)

2012-05-08

Hej Miguel
När du skall börja att lösa ett sådant problem behöver du först bestämma dig för vilken variabel som du vill lösa ut. Om du börjar med x eller y spelar egentligen ingen roll även om det kan vara bra att ta den variabel som ser enklast ut att ”få ensam”. Om vi tar exemplet med det översta ekvationssystemet (1) så ser det enklast ut att lösa ut y i den andra ekvationen då den variabeln är ensam. Vi kan alltså lösa det på följande vis:
2x+3y=8 (1)
4x+y=-4 (2)

Vi löser ut y i ekvation (2):
4x+y=-4 (-4x)
y=-4-4x (-4x)
Nu kan vi byta ut (substituera) y i ekvation (1) mot det vi har löst ut:
2x+3y=8 (sätt in -4-4x istället för y)
2x+3(-4-4x) = 8 (förenkla)
2x-12-12x = 8
-10x-12 = 8
-10x = 20
x = -2
Nu kan vi lösa ut y mha det vi tog fram i ekvation (2)
y = -4-4(-2) = 4
alltså,
x = -2
y = 4

Den andra ekvationen löser du på samma sätt men här blir det enklare att lösa ut x först. Hoppas att detta hjälper dig på vägen!

Miguel

2012-05-09

Så enkelt och logiskt när du lägger fram det så! Tusen tack!

Simon Rybrand (Moderator)

2012-05-08

Hej, om du kikar på svaret som finns i kommentarerna här nedanför så hittar du ett precis likadant ekvationssystem som du löser på samma vis. Använd alltså substitutionsmetoden. Så om du har ekvationssystemet
y=2x+3 (1)
3y=12+3x (2)
så blir det enklast att använda sig av ekvation (1) där du har
y=2x+3
Byt nu ut y i ekvation (2) mot 2x + 3 så får du
3(2x+3)=12+3x
6x+9=12+3x
3x=3
x = 1
och därmed är
y = 5

Hoppas att detta hjälper dig på vägen mot att förstå substitutionsmetoden! /Simon

Simon Rybrand (Moderator)

2012-05-05

Hej, det här ekvationssystemet är sådant att det blir enklast att använda sig av additionsmetoden för lösa det. När du adderar de bägge leden med varandra kommer y att elimineras (tas ut av varandra) så att du ganska enkelt kan lösa ut x. Kolla gärna igenom videon om additionsmetoden så tror jag det blir enklare att kunna lösa ekvationssystemet. Annars är du välkommen att fråga mera!

Simon Rybrand (Moderator)

2012-04-26

Hej Miguel, detta är ett vanligt fel och beror på att man inte är så van att jobba med ekvationer. Man kan skriva om ekvationen -x = 5 med två olika metoder (men få samma svar).

1) Metod 1
-x = 5 (addera med x i vänster-, högerled)
0 = 5 + x (subtr med -5)
-5 = x eller x = -5

2) Metod 2
-x = 5 (multiplicera vänster-, & högerled med -1)
$(-1) \cdot (-x) = (-1) \cdot 5$
När vi multiplicerar negativa x med negativt ett får vi ett positivt x. 5:an byter dock tecken då det där multipliceras ett negativt tal med ett positivt. Vi får då:
x = -5

Moa Nordin

2017-03-09

Tänker jag fel om jag tänker att 2x+5 inte borde bli x=-5 utan istället -2,5 eftersom att vi borde dividera de båda leden med 2 då det står 2x?

Simon Rybrand (Moderator)

2017-03-10

Du har inte skrivit en ekvation här utan endast ett uttryck. Det saknas ett likamedtecken och något på andra sidan. Tex
$2x+5=-5$

Simon Rybrand (Moderator)

2012-02-01

Hej Michaela, det ser ut som du tänker helt rätt. I varje fall är svaret korrekt.

Ett tips när du jobbar med Linjära ekvationssystem eller vilka andra ekvationer som helst är att kontrollera att du har gjort rätt genom att sätta in svaret i ekvationen. Då kan du dubbelkolla att man inte gjort ett slarvfel eller missat ett viktigt steg.

michaela

2012-02-02

Tack för tipset, det ska jag göra!

Simon Rybrand (Moderator)

2012-01-18

Hej Eva,
Här ser det enklast ut att börja med att lösa ut x i den övre ekvationen:
(1) x+3y=1
(2) 3x+2y=-11
—————————
(1) ger att x = 1 – 3y
Vi sätter in detta i (2) och får då ekvationen:
3(1 – 3y)+2y=-11 <=>
3 – 9y + 2y = -11 <=>
-7y = -14 <=>
y = 2
Från (1) får vi x som blir x = 1 – 6 = -5
Svar:
—–
x = -5
y = 2

Simon Rybrand (Moderator)

2011-11-28

Hej jj, tack för din kommentar, detta är ju ett linjärt ekvationssystem med tre okända variabler. Funderar du på hur du skall lösa det eller är det en uppgift du jobbar med just nu? Ett sätt att lösa dessa ekvationssystem är att använda substitutionsmetoden och att försöka använda två av ekvationerna för att få en ekvation med bara en okänd variabel.

Simon Rybrand (Moderator)

2011-11-16

Hej Shirali, ett sådant här linjärt ekvationssystem kan tex lösas med substitutionsmetoden. I den första ekvationen har du ju y = 4x. Då kan du byta ut y i den andra ekvationen mot 4x.

Då får du ekvationen 5x-2*4x-3=0 där du kan lösa ut variabeln x. Med hjälp av x löser du sedan ut variabeln y.

Endast Premium-användare kan kommentera.