Författare:Simon Rybrand
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
Vad är radianer?
Vinkelmåttet radianer är precis som grader en enhet för vinklar. En anledning till att man använder radianer istället för grader är att det i vissa fall blir enklare att lösa ekvationer och beräkna derivator och primitiva funktioner av de trigonometriska funktionerna.
Själva vinkelmåttet 11 radian är den vinkel som ger att cirkelbågen som uppstår mellan två radier och radien själv är lika långa.
Den mittpunktsvinkel som ger att cirkelbågen är lika lång som cirkelns radie kallas 11 radian.
Det ger att en cirkelbåge som till exempel är tre gånger så lång som radien motsvarar vinkel 33 radianer
och är cirkelbågen sex gånger så lång som radien är vinkel 66 rad.
Vi ser att 66 rad nästan motsvarar ett helt varv. Det fattas ungefär en tredjedels radie. Cirkelns omkrets är alltså ca 6,36,3 radier lång, vilket vi lärde oss redan i mellanstadiet. Mer exakt 2π=2⋅3,14159..≈6,32π=2·3,14159..≈6,3 l.e
Exempel 1
Bestäm vinkel vv både i vinkelmåttet radianer och grader då cirkelbågen är 44 gånger så lång som cirkelns radie.
Lösning
Då cirkelbågen är 44 gånger så lång som cirkelns radie är vinkeln 44 radianer, vilket kan anges som 44 rad.
Då 11 rad=π180∘=180∘π är
44 rad=π4⋅180∘=π720∘≈=4·180∘π =720∘π ≈229∘229∘
Det spelar alltså ingen roll hur långa radien är. Vinkeln kommer ändå alltid varar 44 rad om den är fyra gånger så lång som radien.
Från grader till radianer och tillbaka igen
Låt oss ta några exempel där vi går från grader till radianer och vice versa. Viktigt att känna till när du jobbar med dessa omvandlingar är att 1˚=180ππ180 rad.
Exempel 2
Uttryck följande vinklar i radianer istället för i grader.
a) 55∘55∘
b) 120∘120∘
Lösning
Eftersom att 1˚=180ππ180 rad får vi att
a) 55˚=55⋅55˚=55·180ππ180 rad =3611π=11π36 rad
b) 120˚=120⋅120˚=120·180ππ180 rad =32π=2π3 rad
Du kan med fördel ange den exakta vinkeln i förenklad bråkform istället för ett närmevärde när du anger en vinkel. Men om vinkeln vid en tillämpning motsvarar en tid eller längd kan du med fördel istället ange närmevärdet.
Exempel 3
Uttryck följande vinklar i grader istället för i radianer.
a) 9ππ9 rad
b) 52π2π5 rad
Lösning
Eftersom att 11 rad =π180∘=180∘π får vi att
π/9 rad =9π⋅π180∘=9180∘==π9 ·180∘π =180∘9 = 20˚
2π/5 rad =52π⋅π180∘=5360˚==2π5 ·180∘π =360˚5 =72˚
I kommande lektioner kommer du kunna träna på hur de trigonometriska funktionerna ser ut i koordinatsystemet och du får då träna på att rita dem och göra beräknar på både vinklar uttryckt i grader och radianer.
Några vanliga vinklar i vinkelmåttet radianer
Eftersom att vi beräknar cirkelns omkrets med 2π⋅r2π·r kommer vinkeln som motsvarar ett helt varv alltid vara 2π2π radianer. Utifrån det kan vi konstatera följande samband mellan en vinkel mätt i grader och radianer.
1˚= 180ππ180 rad
30˚= 6ππ6 rad
45˚= 4ππ4 rad
90˚= 2ππ2 rad
180˚=π rad
360˚=2π rad
720˚=4π rad
För att lättare kunna uppskatta om omvandlingen är rimlig är det bra att känna till att 11 rad =π180∘=180∘π ≈57,3∘≈57,3∘ och 1∘≈1∘≈ 180π≈π180 ≈0,020,02 radianer.
I formel bladet vid nationella proven får du tillgång till denna tabellen.
I lektionen Exakta trigonometriska värden och symmetrier på enhetscirkeln tittar vi närmre på sambanden.
När ska jag använda vinkelmåttet radianer istället för grader?
Står det bara sin3sin3 är det underförstått sin3sin3 radianer. Man utelämnar alltså ofta enheten rad. Om man istället vill ange vinkeln i grader skriver man sin3∘sin3∘.
Nu kanske du frågar dig varför du egentligen skall använda radianer istället för grader? Vad är egentligen meningen med det?
Det finns lite olika fördelar med detta. Till exempel kan vinkelmåttet radianer i vissa fall ge en enklare huvudräkning vid ekvationslösning, derivering och bestämning av primitiv funktion till trigonometriska funktioner. Så för att underlätta din beräkning när du jobbar med trigonometriska funktioner så använd gärna radianer om du får välja.
En annan sak att hålla utkik efter är om π används i ett funktionsuttryck. Då används oftast radianer.
Lösa ekvationer med vinkelmåttet radianer
Vi titta nu på några exempel på ekvationer med vinkelmåttet radianer, men sammanfattar först alla lösningar till grundekvationerna för sinus och cosinus.
Alla lösningar till sinv=asinv=a där −1≤a≤1−1≤a≤1 ges av
v=v={sin−1a+n⋅2ππ−sin−1a+n⋅2π där nn är ett heltal
Alla lösningar till cosv=acosv=a där −1≤a≤1−1≤a≤1 ges av
v=±cos−1a+n⋅2πv=±cos−1a+n·2π där nn är ett heltal
Exempel 4
Lös ekvationen cosx=cosx=23√32 utan ett digitalt hjälpmedel och ange svaret i radianer.
Lösning
Vi ser i formelbladet att coscos 6π=23π6 =√32 vilket ger att vinkeln x=x= 6ππ6 rad är en lösning till ekvationen.
Vi lägger till även den andra lösningen för cosinus, nämligen den negativa vinkeln, och perioden 2π2π.
x=±6π+n⋅2πx=±π6 +n·2π
Exempel 5
Lös ekvationen sin2x=sin2x= 211√2 utan ett digitalt hjälpmedel och ange svaret i radianer.
Lösning
Vi ser i formelbladet att sinsin 4π=21π4 =1√2 vilket ger att vinkeln x=x=4ππ4 rad är en lösning till ekvationen.
Vi lägger till även den andra lösningen för cosinus, nämligen π−π−vinkeln, och perioden 2π2π.
2x=2x= {4π+n⋅2ππ−4π+n⋅2π
2x=2x= {4π+n⋅2π43π+n⋅2π
Dividera båda led med 22 för att få xx ensamt.
x=x={8π+n⋅π83π+n⋅π
Digitala hjälpmedel och vinklar
De allra flesta räknare och digitala hjälpmedel kan göra beräkningar utifrån både vinkelmåttet radianer och grader. Men det är viktigt att du kontrollerar vilket vinkelmått som ditt digitala hjälpmedel är inställt på och hur du kan ändra det eftersom att det kommer att ge helt olika värden.
Man kan alltid använda båda vinkelmåtten genom att omvandla vinklarna, men du måste veta utifrån vilket vinkelmått tex en modell är utformad. Vi tittar närmre på detta i lektionen Trigonometriska funktioner i GeoGebra.
Exempel i videon
- Exempel på vinklarna 1 rad, a rad och 2π rad i en cirkel.
- Bestämning av 180°, 90° och 1° i radianer.
- Bestämning av 2π rad, π rad och 1 rad i grader.
- Lös ekvationen sinx=0,9 och svara i radianer.
- Lös ekvationen cosx=0,9 och svara i radianer.
Kommentarer
e-uppgifter (17)
1.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Hur många grader är 2π2π rad?
Svara med enheten grader.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 360∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Hur många grader är ππ rad?
Svara med enheten grader.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 180∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(1/0/0)NPE C A B 1 P PL M R K Hur många grader är 1,41,4 radianer? Endast svar krävs.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 80°(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Hur många grader är 3ππ3 rad?
Svara med enheten grader.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 60∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...5. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Hur många radianer är 90°90°?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 2π rad(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Hur många radianer är 130°130° ?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 1813π rad(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(1/0/0)ME C A B P 1 PL M R K Bestäm vinkel vv både i vinkelmåttet radianer och grader.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: π rad och 180∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...8. Premium
(1/0/0)ME C A B P 1 PL M R K Bestäm vinkel vv både i vinkelmåttet radianer och grader.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 23π rad och 270∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...9. Premium
(1/0/0)ME C A B P 1 PL M R K Bestäm vinkel vv både i vinkelmåttet radianer och grader då cirkelbågen är 55 gånger så lång som cirkelns radie.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 5 rad och π900∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...10. Premium
(1/0/0)ME C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen cosx=−1cosx=−1 utan digitalt hjälpmedel och ange svaret i radianer.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=π+n⋅2π(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...11. Premium
(1/0/0)ME C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen sinx=1sinx=1 utan ett digitalt hjälpmedel och ange svaret i radianer.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=2π+n⋅2π(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...12. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Beräkna värdet av uttrycket cos4π⋅sin4πcosπ4 ·sinπ4 utan digitalt hjälpmedel.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 21(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...13. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Beräkna värdet av uttrycket cos2x−sin3xcos2x−sin3x utan digitalt hjälpmedel då x=x=6ππ6
Svar:Ditt svar:Rätt svar: −0,5(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...14. Premium
(1/0/0)ME C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen cosx=cosx= 211√2 utan digitalt hjälpmedel och ange svaret i radianer.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=±4π+n⋅2π(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...15. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen cosx=0,1cosx=0,1 och svara i radianer.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...16. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen cos2x=0,5cos2x=0,5 och svara i radianer.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...17. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen sinx=0,5sinx=0,5 och svara i radianer.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Meron amanuel
Dessa videofilmer är väldigt bra och pedagogiska.
David Admin (Moderator)
Tack, vad roligt att höra, Meron!
LindaE
Hej!
Detta kanske är en dum fråga, men hur gör man om man t.ex. har
2x=1,06+n*2π
Blir x då x=0.53+n*π
eller ”behåller” man 2π så att det blir x=0.53+n*2π?
Alltså vad händer med 2π då det är 2x. Divideras 2π eller inte?
Jag tänker att det alltid ska vara n*360 och att 2π därför ej bör divideras.
Jättetacksam för svar!
mvh
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, när du delar med två så delar du även 2π med två, precis som du beskriver först.
mariam.safia
Hej
En dum fråga!!
När ska man räkna med radianer? Alltså när man löser trigonometriska funktioner?
Tack!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det är inte en dum fråga, det är det många som funderar på. Du hittar en förklaring i texten nedanför videon (Klicka på läs mer).
Elsalouise
Hej!
Jättebra förklaringar till grundbegreppen men jag skulle behöva lite tips på hur man går tillväga när man skall börja räkna utan räknare och genom enhetscirkeln.
Ex,
Lös ekv. Fullständigt utan räknare, svara exakt:
Cos(x-pi/4)= (roten ur 2)/2
Jag vet att pi/4=180/4 dvs 45grader men jag vet verkligen inte hur jag ska lösa det, har försökt hitta tabell i formelsamlingen vilket jag ej finner.
Fråga två är hur jag tänker när jag på sin ekv. Ska ta -180 dvs pi- mitt svar, hur skriver jag det u bråk?!
Jag använder Ma-bok matematik 5000 för Ma 4!
Simon Rybrand (Moderator)
Hejsan, du har alltså ekvationen
cos(x−4π)=22
Här kan vi börja med att att ta arccos så att vi får
x−4π=±arccos(22)+n⋅2π
Här gäller att
arccos(22)=arccos(21)=4π
så vi får
x−4π=±4π+n⋅2π
Vi får två olika lösningar här där
1) x=2π+n⋅2π
eller
2) x=n⋅2π
Lite svårt att först dina andra fråga här, har du ett exempel vi kan utgå ifrån?
skola111
Hej, jag har fastnat på tre uppgifter, vet inte riktigt om det har med den här genomgången att göra, men uppgifterna är på ett lösblad så kan inte se vilket kapitel det tillhör, hoppas de e okej att jag frågar ändå!
Första: lös ekvationen 4cos*x/2 = 1 ( i grader)
Andra: lös ekvationen 2cos(x+40) =1 (grader)
Tredje: lös ekvationen 2+3 sin5x = 5
Tacksam för svar! för övrigt så är jag jätte nöjd med denna sidan!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Kul att du är nöjd med sidan! Det här är tre trigonometriska ekvationer och alla har ungefär samma lösningsmetod så jag kan hjälpa dig på vägen med några av dem:
1)
4cos(x/2) = 1 (dividera med 4)
cos(x/2) = 0,25 (arccos)
x/2 = ± 75,5° + n⋅360° (*2)
x = ± 151° + n⋅720°
2)
2cos(x+40) =1 (dividera med 2)
cos(x+40) =0,5 (arccos)
x+40 = ±60° + n⋅360°
x = 20° + n⋅360° eller x = -100° + n⋅360°
Endast Premium-användare kan kommentera.