00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Vad är radianer?

Vinkelmåttet radianer är precis som grader en enhet för vinklar. En anledning till att man använder radianer istället för grader är att det i vissa fall blir enklare att lösa ekvationer och beräkna derivator och primitiva funktioner av de trigonometriska funktionerna.

Vinkelmåttet radianer

Själva vinkelmåttet 111 radian är den vinkel som ger att cirkelbågen som uppstår mellan två radier och radien själv är lika långa.

Den mittpunktsvinkel som ger att cirkelbågen är lika lång som cirkelns radie kallas 111 radian.

Det ger att en cirkelbåge som till exempel är tre gånger så lång som radien motsvarar vinkel 333 radianer

och är cirkelbågen sex gånger så lång som radien är vinkel 666 rad.

Vi ser att 666 rad nästan motsvarar ett helt varv. Det fattas ungefär en tredjedels radie. Cirkelns omkrets är alltså ca 6,36,36,3 radier lång, vilket vi lärde oss redan i mellanstadiet. Mer exakt 2π=23,14159..6,32\pi=2\cdot3,14159..\approx6,32π=2·3,14159..6,3  l.e

Exempel 1

Bestäm vinkel vvv både i vinkelmåttet radianer och grader då cirkelbågen är 444 gånger så lång som cirkelns radie.

Lösning

Då cirkelbågen är 444 gånger så lång som cirkelns radie är vinkeln 444 radianer, vilket kan anges som 444 rad.

Då  111 rad=180π=\frac{180^{\circ}}{\pi}=180π  är

444 rad=4180π=720π=\frac{4\cdot180^{\circ}}{\pi}=\frac{720^{\circ}}{\pi}\approx=4·180π =720π 229229^{\circ}229

Det spelar alltså ingen roll hur långa radien är. Vinkeln kommer ändå alltid varar 444 rad om den är fyra gånger så lång som radien.

Från grader till radianer och tillbaka igen

Låt oss ta några exempel där vi går från grader till radianer och vice versa. Viktigt att känna till när du jobbar med dessa omvandlingar är att 1˚=1˚ = π180\frac{\pi}{180}π180  rad.

Exempel 2

Uttryck följande vinklar i radianer istället för i grader.

a)  5555^{\circ}55

b)  120120^{\circ}120

Lösning

Eftersom att 1˚=1˚ = π180\frac{\pi}{180}π180  rad får vi att

a)  55˚=5555˚=55\cdot55˚=55·π180\frac{\pi}{180}π180  rad =11π36=\frac{11\pi}{36}=11π36   rad

b)  120˚=120120˚=120\cdot120˚=120·π180\frac{\pi}{180}π180   rad   =2π3=\frac{2\pi}{3}=2π3   rad

Du kan med fördel ange den exakta vinkeln i förenklad bråkform istället för ett närmevärde när du anger en vinkel. Men om vinkeln vid en tillämpning motsvarar en tid eller längd kan du med fördel istället ange närmevärdet.

Exempel 3

Uttryck följande vinklar i grader istället för i radianer.

a)  π9\frac{\pi}{9}π9  rad

b)  2π5\frac{2\pi}{5}2π5  rad

Lösning

Eftersom att 111 rad =180π=\frac{180^{\circ}}{\pi}=180π   får vi att

π/9π/9 rad =π9180π=1809==\frac{\pi}{9}\cdot\frac{180^{\circ}}{\pi}=\frac{180^{\circ}}{9}==π9 ·180π =1809 = 20˚ 20˚

2π/52π/5 rad =2π5180π=360˚5==\frac{2\pi}{5}\cdot\frac{180^{\circ}}{\pi}=\frac{360˚}{5}==2π5 ·180π =360˚5 =72˚72˚

I kommande lektioner kommer du kunna träna på hur de trigonometriska funktionerna ser ut i koordinatsystemet och du får då träna på att rita dem och göra beräknar på både vinklar uttryckt i grader och radianer.

Några vanliga vinklar i vinkelmåttet radianer

Eftersom att vi beräknar cirkelns omkrets med 2πr2\pi\cdot r2π·r kommer vinkeln som motsvarar ett helt varv alltid vara 2π2\pi2π radianer. Utifrån det kan vi konstatera följande samband mellan en vinkel mätt i grader och radianer.

1˚=1˚ =  π180\frac{\pi}{180}π180  rad

30˚=30˚ =  π6\frac{\pi}{6}π6   rad

45˚=45˚ =  π4\frac{\pi}{4}π4   rad

90˚=90˚ =  π2\frac{\pi}{2}π2 rad

180˚=π180˚ = π rad

360˚=2π360˚ = 2π rad

720˚=4π720˚ = 4π rad

För att lättare kunna uppskatta om omvandlingen är rimlig är det bra att känna till att 111 rad =180π=\frac{180^{\circ}}{\pi}=180π 57,3\approx57,3^{\circ}57,3  och  11^{\circ}\approx1  π180\frac{\pi}{180}\approxπ180 0,020,020,02 radianer.

I formel bladet vid nationella proven får du tillgång till denna tabellen. 

I lektionen Exakta trigonometriska värden och symmetrier på enhetscirkeln tittar vi närmre på sambanden.

När ska jag använda vinkelmåttet radianer istället för grader?

Står det bara sin3\sin3sin3  är det underförstått sin3\sin3sin3 radianer. Man utelämnar alltså ofta enheten rad. Om man istället vill ange vinkeln i grader skriver man  sin3\sin3^{\circ}sin3.

Nu kanske du frågar dig varför du egentligen skall använda radianer istället för grader? Vad är egentligen meningen med det?

Det finns lite olika fördelar med detta. Till exempel kan vinkelmåttet radianer i vissa fall ge en enklare huvudräkning vid ekvationslösning, derivering och bestämning av primitiv funktion till trigonometriska funktioner. Så för att underlätta din beräkning när du jobbar med trigonometriska funktioner så använd gärna radianer om du får välja.

En annan sak att hålla utkik efter är om π\pi används i ett funktionsuttryck. Då används oftast radianer.

Lösa ekvationer med vinkelmåttet radianer

Vi titta nu på några exempel på ekvationer med vinkelmåttet radianer, men sammanfattar först alla lösningar till grundekvationerna för sinus och cosinus.

Alla lösningar till sinv=a\sin v=asinv=a  där 1a1-1\le a\le11a1  ges av

 v=v=v={sin1a+n2ππsin1a+n2π \begin{cases} \sin ^{-1}a+n\cdot 2\pi \\\pi -\sin ^{-1}a+n\cdot 2\pi  \end{cases}  där nnn är ett heltal

Alla lösningar till cosv=a\cos v=acosv=a  där 1a1-1\le a\le11a1  ges av

 v=±cos1a+n2πv=\pm\cos^{-1}a+n\cdot2\piv=±cos1a+n·2π  där  nnn är ett heltal

Exempel 4

Lös ekvationen  cosx=\cos x=cosx=32\frac{\sqrt{3}}{2}32  utan ett digitalt hjälpmedel och ange svaret i radianer.

Lösning

Vi ser i formelbladet att cos\coscos π6=32\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}π6 =32   vilket ger att vinkeln x=x=x= π6\frac{\pi}{6}π6   rad är en lösning till ekvationen.    

Vi lägger till även den andra lösningen för cosinus, nämligen den negativa vinkeln, och perioden 2π2\pi2π.

  x=±π6+n2πx=\pm\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pix=±π6 +n·2π 

Exempel 5

Lös ekvationen  sin2x=\sin2x=sin2x= 12\frac{1}{\sqrt{2}}12   utan ett digitalt hjälpmedel och ange svaret i radianer.

Lösning

Vi ser i formelbladet att  sin\sinsin  π4=12\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}π4 =12  vilket ger att vinkeln x=x=x=π4\frac{\pi}{4}π4  rad är en lösning till ekvationen.  

Vi lägger till även den andra lösningen för cosinus, nämligen π\pi-πvinkeln, och perioden 2π2\pi2π.

 2x=2x=2x= {π4+n2πππ4+n2π \begin{cases} \frac{\pi}{4}+n\cdot 2\pi \\ \pi -\frac{\pi}{4}+n\cdot 2\pi  \end{cases}

 2x=2x=2x= {π4+n2π3π4+n2π \begin{cases} \frac{\pi}{4}+n\cdot 2\pi \\ \frac{3 \pi}{4}+n\cdot 2\pi  \end{cases}

Dividera båda led med 222 för att få xxx ensamt.

 x=x=x={π8+nπ3π8+nπ \begin{cases} \frac{\pi}{8}+n\cdot \pi \\ \frac{3 \pi}{8}+n\cdot \pi  \end{cases}

Digitala hjälpmedel och vinklar

De allra flesta räknare och digitala hjälpmedel kan göra beräkningar utifrån både vinkelmåttet radianer och grader. Men det är viktigt att du kontrollerar vilket vinkelmått som ditt digitala hjälpmedel är inställt på och hur du kan ändra det eftersom att det kommer att ge helt olika värden.

Man kan alltid använda båda vinkelmåtten genom att omvandla vinklarna, men du måste veta utifrån vilket vinkelmått tex en modell är utformad. Vi tittar närmre på detta i lektionen Trigonometriska funktioner i GeoGebra.

Exempel i videon

  • Exempel på vinklarna 1 1 rad, a a rad och 2π 2 \pi rad i en cirkel.
  • Bestämning av 180°180°, 90°90° och 1° i radianer.
  • Bestämning av 2π2 \pi rad, π\pi rad  och 11 rad i grader.
  • Lös ekvationen sinx=0,9 \sin x=0,9 och svara i radianer.
  • Lös ekvationen cosx=0,9 \cos x = 0,9 och svara i radianer.