Avståndsformeln

Med hjälp av avståndsformeln kan vi bestämma avståndet mellan två punkter.

Vi kan även avgöra vart punkter ska placeras i planet eller rummet för att få ett visst avstånd till varandra.

Avståndsformeln kan ses som en omskrivning av Pythagoras sats. Betrakta först följande bild.

Avståndet i $x$x-led beskriver vi som $\Delta x=x_2-x_1$Δx=x₂−x₁ och avståndet i $y$y-led som $\Delta y=y_2-y_1$Δy=y₂−y₁. Detta sätt att beskriva avstånd i fördjupar vi något nedan.

Om vi söker avståndet $d$d så kan vi ställa upp följande samband med hjälp av Pythagoras sats.

$d^2=\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2$d²=(x₂−x₁)²+(y_2‍−y₁)²

Vi tar roten ur bägge leden

$d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$d=√(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²

Vilket alltså är avståndet mellan de bägge punkterna.

Det är egentligen bättre att beskriva avstånd mellan två punkter i $x$x -led eller $y$y-led med hjälp av absolutbelopp. Absolutbeloppet för ett reellt tal $a$a definieras som $\left|a\right|=\sqrt{a^2}$|a|=√a². Exempelvis gäller att $\left|-2\right|=\sqrt{\left(-2\right)^2}=2$|−2|=√(−2)²=2. Därför är absolutbeloppet alltid positivt.

Ett bättre sätt att beskriva kateterna i den rätvinkliga triangeln här ovan skulle därför vara som absolutbeloppen $\left|x_2-x_1\right|$|x₂−x₁| och $\left|y_2-y_1\right|$|y₂−y₁|. Det är bättre för att vi på detta sätt inte får negativa avstånd i $x$x-led eller $y$y-led.

Om vi exempelvis har punkterna $\left(x_2,\text{ }y_2\right)=\left(-2,\text{ }3\right)$(x₂, y₂)=(−2, 3) och $\left(x_1,\text{ }y_1\right)=\left(2,\text{ }4\right)$(x₁, y₁)=(2, 4) så skulle kateternas längder bli $\left|x_2-x_1\right|=\left|-2-2\right|=\left|-4\right|=4$|x₂−x₁|=|−2−2|=|−4|=4 och $\left|y_2-y_1\right|=\left|3-4\right|=\left|-1\right|=1$|y₂−y₁|=|3−4|=|−1|=1. Det vill säga längden på kateten blir då alltid positiv.

Men det går som sagt lika bra att använda Pythagoras sats som absolutbeloppet för att förstå avståndsformeln. Då vi kvadrerar katetrarna så ger det också alltid ett positivt resultat.