Extrem- och terrasspunkter med derivatan

Exempel 1

För funktionen $f$ƒ gäller att $f(x)=2x\cdot e^x$ƒ (x)=2x·e^x. Bestäm med hjälp av derivatan

a) funktionens extrempunkter
b) funktionens största och minsta värde
c) Gör en skiss av grafen

Lösning

a) Extrempunkter

Vi vill hitta de $x$x-värden där derivatan är noll. Eftersom $f(x)=2x\cdot e^x$ƒ (x)=2x·e^x är en produkt av två funktioner använder vi produktregeln.

$f'(x)=2\cdot e^x+2x\cdot e^x$ƒ '(x)=2·e^x+2x·e^x                  Bryt ut $2e^x$2e^x

$f'(x)=2e^x(1+x)$ƒ '(x)=2e^x(1+x)                    Sätt lika med noll

$2e^x(1+x)=0$2e^x(1+x)=0

Eftersom $2e^x>0$2e^x>0 för alla $x$x måste $1+x=0$1+x=0, vilket ger $x=-1$x=−1. Det finns alltså en extrempunkt.

Vi beräknar andraderivatan för att avgöra karaktären.

$f'(x)=2e^x(1+x)$ƒ '(x)=2e^x(1+x) ⇒ $f''(x)=2e^x(2+x)$ƒ ''(x)=2e^x(2+x)

$f''(-1)=2e^{-1}(2+(-1))=2e^{-1}\cdot1=\frac{2}{e}>0$ƒ ''(−1)=2e⁻¹(2+(−1))=2e⁻¹·1=2e >0

Andraderivatan i extrempunkten $x=-1$x=−1 är positiv vilket innebär att den är en minimipunkt.

Vi beräknar minimivärdet.

$f(-1)=2\cdot(-1)\cdot e^{-1}=-\frac{2}{e}$ƒ (−1)=2·(−1)·e⁻¹=−2e

Funktionen har en minimipunkt i $\left(-1,-\frac{2}{e}\right)$(−1,−2e ), det vill säga ungefär $(-1;-0{,}74)$(−1;−0,74).

b) Största och minsta värde

Derivatan $f'(x)=2e^x(1+x)$ƒ '(x)=2e^x(1+x) är negativ för $x<-1$x<−1 och positiv för $x>-1$x>−1. Eftersom $2e^x>0$2e^x>0 för alla  $x$x är det parentesen $\left(x+1\right)$(x+1) som avgör om derivatan är negativ eller positiv.

Funktionen är alltså avtagande till vänster om minimipunkten och växande till höger. Eftersom funktionen saknar övre gräns, $f(x)\to\infty$ƒ (x)→∞ då $x\to\infty$x→∞, finns inget globalt maximum. Det globala minimumet är $-\frac{2}{e}$−2e och antas i $x=-1$x=−1.

c) Skiss av grafen

Vi beräknar $f\left(0\right)$ƒ (0) för att veta var grafen skär $x$x-axeln.

$f\left(0\right)=2\cdot0\cdot e^0=0$ƒ (0)=2·0·e⁰=0

Grafen skär alltså i origo.

Genom insättning av mindre och mindre värden ser vi att $f(x)\to0$ƒ (x)→0 då $x\to-\infty$x→−∞.

Vidare gäller att grafen är avtagande för $x<-1$x<−1, har minimipunkt i $(-1;-\frac{2}{e})$(−1;−2e ) och växer snabbt mot oändligheten för $x>-1$x>−1.