00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3b
/  Genomgångar nationella prov Ma3b
Algebra

Konjugatregeln och kvadreringsreglerna

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Förenkla uttryck

När man arbetar med att förenkla uttryck händer det att man stöter på uttryck där en parentes som innehåller två termer är kvadrerad. För att underlätta arbetet med sådana uttryck kan kvadreringsreglerna vara till hjälp.
Kvadreringsreglerna
Om du istället har två konjugat som multipliceras använder du konjugatregeln. 
Konjugatregeln
Dessa regler finns framförallt för att effektivisera och snabba upp hanteringen av algebraiska uttryck. Det är därför bra att träna så att du känner dig säker på hur dessa regler fungerar.

Reglerna är framtagna utifrån den utvidgade distributiva lagen och vi kommer att presentera dem närmre här.

Kvadreringsreglerna

Det finns två stycken kvadreringsregler. Dessa är följande.

Kvadreringsreglerna

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Skillnaden mellan dessa bägge regler är alltså att den andra regeln hanterar då vi har ett minustecken istället för ett plustecken i parentesen. Dessa bägge regler kan även användas för att faktorisera, d.v.s. att man bryter ut en term ur ett uttryck för att förenkla det. Vi kan visa att den första regeln stämmer genom att använda den utvidgade distributiva lagen.

Den utvidgade distributiva lagen

Arean av en kvadrat med sidan (a+b)\left(a+b\right)(a+b) kan visa att lagen stämmer genom att beskriva kvadratens area som en helhet och som summan av fyra delar.

(a+b)2=(a+b)(a+b)= (a+b)^2= (a+b)(a+b)=

a2+ab+ba+b2= a^2+ab+ba+b^2= a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2

Kvadrering av ett binom kommer alltså alltid ge första termen i kvadrat, dubbla produkten av de två termerna och andra termen i kvadrat.

Enda skillnaden mellan kvadreringsreglerna är att addition mellan termerna ger att alla termerna efter utvecklingen är positiva, medan subtraktion mellan termerna ger att dubbla produkten av de två termerna istället ska subtraheras från kvadraterna.

Nu följer några exempel där vi använder reglerna för att utveckla uttryck.

Exempel 1

Utveckla uttrycket (x+9)2(x+9)^2  med hjälp av kvadreringsreglerna.

Lösning

 (x+9)2=x2+2⋅x⋅9+92=x2+18x+81(x+9)^2=x^2+2\cdot x\cdot9+9^2=x^2+18x+81(x+9)2=x2+2·x·9+92=x2+18x+81 

Ett vanligt fel många gör när de börjar utveckla uttryck med kvadreringsreglerna är att glömma bort att hela termerna ska kvadreras. Om en term består av flera faktorer gäller potensregeln (a⋅b)2=a2b2\left(a\cdot b\right)^2=a^2b^2(a·b)2=a2b2 .

Exempel 2

Utveckla uttrycket (6x−4)2(6x-4)^2  med hjälp av kvadreringsreglerna.

Lösning

(6x−4)2=(6x)2−2⋅6x⋅4+42=36x2−48x+16(6x-4)^2=(6x)^2-2\cdot 6x\cdot 4+4^2=36x^2-48x+16

Vi observerar att hela termen 6x6x6x, alltså både sexan och xxx:et, ska kvadreras vid utvecklingen av uttrycket. Det ger att första termen i utvecklingen blir  (6x)2=62⋅x2=36x2\left(6x\right)^2=6^2\cdot x^2=36x^2(6x)2=62·x2=36x2 .

Konjugatregeln

Inom matematiken är ett binom ett uttryck med två termer. När man jobbar med algebra är konjugatet till ett binom, det binom som är exakt likadant, med undantaget att tecknet mellan de två termerna är motsatt.

Tillexempel är konjugatet till  x+4x+4x+4 binomet x−4x-4x−4 och konjugatet till  7−3a7-3a7−3a lika med binomet 7+3a7+3a7+3a.

Om ett uttryck på formen (a+b)(a+b) multipliceras med dess konjugat (a−b)(a-b) ges resultatet a2−b2 a^2-b^2 . Detta sammanfattas i konjugatregeln.

Konjugatregeln

(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Även denna regel kan visas att den stämmer genom att utveckla följande med hjälp av den utvidgade distributiva lagen.

Den utvidgade distributiva lagen

(a+b)(a−b) (a+b)(a-b) =a2−ab+ab–b2= a^2 -ab + ab – b^2 =a2−b2= a^2-b^2

Nu följer några exempel där vi använder reglerna för att utveckla uttryck.

Exempel 3

Utveckla uttrycket(x+8)(x−8)(x+8)(x-8) med hjälp av konjugatregeln.

Lösning

Parenteserna är varandras konjugat och vi kan använda konjugatregeln.

(x+8)(x−8)=x2−82=x2−64(x+8)(x-8) =x^2-8^2=x^2-64

Förenkla uttryck med hjälp av konjugat och kvadreringsregeln

Tänk på att alltid svarar med ett förenklat uttryck. Detta görs genom att termer som är av samma sort läggs samman efter att man utvecklat uttrycket.

Exempel 4

Förenkla  2(x−2)2−2x(x−3)2\left(x-2\right)^2-2x\left(x-3\right)2(x−2)2−2x(x−3)

Lösning

Vi utveckla först kvadraten, ”upphöjt till två” med kvadreringsregeln innan vi multiplicerar inte tvåan och får

2(x−2)2−2x(x−3)=2(x2−4x+4)−2x(x−3)2\left(x-2\right)^2-2x\left(x-3\right)=2\left(x^2-4x+4\right)-2x\left(x-3\right)2(x−2)2−2x(x−3)=2(x2−4x+4)−2x(x−3) 

Nu multiplicerar vi in i parenteserna

 2(x2−4x+4)−2x(x−3)=2x2−8x+8−2x2+6x2\left(x^2-4x+4\right)-2x\left(x-3\right)=2x^2-8x+8-2x^2+6x2(x2−4x+4)−2x(x−3)=2x2−8x+8−2x2+6x 

Slutligen förenklar vi uttrycket genom att addera och subtrahera termer av samma sort.

 2x2−8x+8−2x2+6x=8−2x2x^2-8x+8-2x^2+6x=8-2x2x2−8x+8−2x2+6x=8−2x 

I kommande lektioner kommer vi träna på att använda konjugat och kvadreringsreglerna ”baklänges” för att göra det vi kallar för att faktorisera.

Exempel i videon

  • Utveckla  (x+6)2(x+6)^2(x+6)2 
  • Utveckla  (x−3)2(x-3)^2(x−3)2 
  • Utveckla  (3x−x2)2(3x-x^2)^2(3x−x2)2 
  • Utveckla  (x+3)⋅(x−3)(x+3)\cdot(x-3)(x+3)·(x−3) 
  • Utveckla  (x2+x)⋅(x2−x)(x^2+x)\cdot(x^2-x)(x2+x)·(x2−x) 
Nästa lektion: Uppgift 17, 18, 19 – NP Ma3b vt 2012 Delprov D

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server