Ange andragradsfunktionen utifrån nollställen och en punkt

I den här lektionen visar vi en metod för att ta fram andragradsfunktionens funktionsuttryck utifrån nollställen och en annan punkt.

Om vi känner till funktionens nollställen samt ytterligare en punkt på grafen, kan vi ta fram funktionens formel.

I faktorform se polynomfunktionens formel ut på följande vis.

Detta ger att alla andragradsfunktioner $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax²+bx+c, med nollställena $x_1$x₁ och  $x_2$x₂  i faktorform kan skrivas som

där $a$a motsvarar andragradstermens koefficient. Att vi vänjer att skriva $a$a istället för $k$k  här är för att lättare associera det till koefficienten framför andragradstermen. 

Funktionens nollställen motsvarar $x$x -värdet där grafen skär $x$x -axeln. Alla nollställen har gemensamt, att deras  $y$y-värde alltid är lika med noll. 

En förutsättning för att vi skall förstå metoden som presenteras i videon, är att vi känner till följande koppling mellan nollställen och faktorerna då funktionen skrivs i faktorform.

Om funktionen har ett nollställe då $x=a$x=a, så innebär det att funktionen i faktorform har en faktor $\left(x-a\right)$(x−a), som ger att funktionsvärdet blir noll.

Man kan säga att vi använder nollproduktmetoden baklänges. Nollproduktmetoden ger oss nollställena, genom att då en faktor antar värdet noll, blir hela produkten lika med noll. Nollställena kan vi få fram genom att vi beräknar de värden på $x$x, som ger att faktor efter faktor blir lika med noll.

Om en funktion har två nollställen och dessa återfinns i $x=2$x=2  och  $x=-5$x=−5, så innebär det att denna funktion består av faktorerna $\left(x-2\right)$(x−2) och $\left(x+5\right)$(x+5) . Vi kan då skriva funktionen i faktorform som $f\left(x\right)=a\left(x-2\right)\left(x+5\right)$ƒ (x)=a(x−2)(x+5). Konstanten $a$a kan vi bestämma om vi känner till ytterligare en punkt på grafen.

Är grafen given kan vi läsa av nollställena. De motsvarar  $x$x -värdena för de punkter där funktionen skär $x$x -axeln.

Har vi inte tillgång till grafen kan vi beräkna nollställena genom att sätta funktionsuttrycket lika med noll. Med andra ord, vi sätter  $f\left(x\right)=0$ƒ (x)=0 och löser ekvationen och får på så vis fram dem.

Vilken punkt som helst, som tillhör funktionen och inte är ett nollställe går bra att använda. Antingen läser vi av ytterligare en punkt i grafen, om vi nu har den. Alternativt tar vi fram en punkt till, genom att sätta in ett valfritt (definierat) värde på $x$x och beräkna det tillhörande funktionsvärdet ( $y$y-värdet). 

Som sagt är fungerar alla punkter som inte är nollställen, så länge de är definierade för funktionen. Men en punkt som gör det extra enkelt att räkna med, är punkten där grafen skär $y$y -axeln. För denna punkt är $x=0$x=0. Om vi kallar den för $\left(0,\text{ }y_0\right)$(0, y₀) får vi att

 $y_0=k\left(0-x_1\right)\cdot\left(0-x_2\right)\cdot…\cdot\left(0-x_n\right)=k\cdot x_1\cdot x_2\cdot…\cdot x_n$y₀=k(0−x₁)·(0−x₂)·…·(0−x_n)=k·x₁·x₂·…·x_n

Alltså $k$k gånger alla nollställen. För denna punkt slipper du beräkna alla parentesers värde innan du multiplicerar dem. Du får fram värdet på $k$k direkt genom att dividera $y$y -värdet med alla nollställen.

 $k=$k=  $\frac{y_0}{x_1\cdot x_2\cdot…\cdot x_n}$y₀x₁·x₂·…·x_n  

Nu testar vi metoden i ett exempel.

Observera att konstanttermen i funktionsuttryckets utvecklade form, alltid är densamma som $y$y-värdet för punkten där grafen skär $y$y -axeln. Alltså där $x=0$x=0.

Detta är förhoppningsvis bekant för dig från den linjära funktionen samt andragradsfunktionen, där $m$m -värdet respektive $c$c -värdet läses av vid grafens skärningspunkt med $y$y -axeln.

Ange den utritade andragradsfunktionens formel. Se bild i video.