00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2
ABC
/  Linjära funktioner

Linjära ekvationssystem, Vad är det?

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

I den här lektionen går vi igenom vad ett linjärt ekvationssystem är. Vi förklarar hur du skriver ett ekvationssystem och dess lösning.

Vad är ett linjärt ekvationssystem?

Ett linjärt ekvationssystem består av två eller flera linjära ekvationer, där varje ekvation innehåller en eller flera variabler.

Linjära ekvationssystem

De värden på variablerna, som ger en lösning till alla ekvationssystemets ekvationer samtidigt, motsvarar ekvationssystemets lösning.

Nödvändiga förkunskaper

I arbetet med linjära ekvationssystem behöver du känna till räta linjens ekvation och grunderna i linjär ekvationslösning.

I den här lektionen introduceras linjära ekvationssystem. Vi beskriver vad ett linjärt ekvationssystem är, hur det skrivs och hur du skriver en lösning till systemet. I kommande lektioner fördjupar vi hur man löser dem grafiskt och algebraiskt. 

Så skrivs ett linjärt ekvationssystem

Det vanligaste skrivsättet för att markera att flera ekvationer tillhör samma ekvationssystem, är att använda sig av en stor klammer. Den ser ut så här { och skrivs vanligtvis till vänster om ekvationerna.

Genom att markera ekvationerna med (1) och (2)  kan man förtydliga redovisningen, genom att referera till ekvationerna som (1) och (2) i lösningen.

Så här skrivs ekvationssystemet för de linjära ekvationerna  y=−x+2y=-x+2y=−x+2 och  y=x+4y=x+4y=x+4:

{y=−x+2(1)y=x+4(2)\begin{cases} y=-x+2 \quad (1) \\ y=x+4 \quad (2) \end{cases}

I ekvationssystem markeras den översta ekvationen med (1) och den nedersta med (2).

Algebraisk kontroll av lösning

Som vi tidigare nämnde gäller att ekvationssystemets lösning motsvarar de värden på variablerna som ger en lösning till alla ekvationssystemets ekvationer samtidigt.Vi visar ett exempel för att förtydliga vad vi menar.

Exempel 1

Kontrollera algebraiskt om

{x=−1y=3\begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}

är en lösning till ekvationssystemet

{y=−x+2y=x+4\begin{cases} y=-x+2 \\ y=x+4 \end{cases}

Lösning

Om vänsterleden är lika med högerleden i de bägge ekvationerna, när vi ersätter xxx och yyy  med sina värden, är det en lösning.

Vi numrerar ekvationerna för att lättar kunna särskilja dem.

{y=−x+2   (1)y=x+4        (2)\begin{cases} y=-x+2 \,\,\,(1)\\ y=x+4\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{cases}

Sedan sätter vi in värdena x=−1x=-1x=−1 och y=3y=3y=3 i respektive ekvation och undersöker om värdena uppfyller likheterna.

Kontroll ekvation (1)

 3=−(−1)+2\text{ }3=-\left(-1\right)+2 3=−(−1)+2
3=1+23=1+23=1+2 
3=33=33=3 
Likheten stämmer!

Kontroll ekvation (2)

3=−1+43=-1+43=−1+4 
3=33=33=3 
Likheten stämmer!

Den föreslagna lösningen till ekvationssystemet stämmer, eftersom att xxx och yyy uppfyller likheten i båda ekvation.

Grafisk kontroll av lösning

I linjära ekvationssystem motsvarar alltid ekvationernas graferna räta linjer. Rita du ut de bägge linjerna i ett koordinatsystem, återfinns alltid lösningen till systemet i koordinaterna där linjerna skär varandra. Eller som nedan uttryckt på ett annat sätt.

Ekvationssystemets lösning

Ekvationssystemets lösning återfinns alltid i grafernas skärningspunkter.

När du anger lösningen till ekvationssystemet så anger du både xxx-värdet och  yyy-värdet som lösning.

Du skriver även lösningen med en klammer.

Exempel 2

Kontrollera grafiskt om

{x=−1y=3\begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}

är en lösning till ekvationssystemet

{y=−x+2y=x+4\begin{cases} y=-x+2 \\ y=x+4 \end{cases}

Lösning

En grafisk lösning innebära att man ritar in ekvationerna i ett ekvationssystem och läser av svaret i grafen. Vi börjar med att rita ut de två ekvationerna som räta linjer.

{y=−x+2y=x+4\begin{cases} y=-x+2 \\ y=x+4 \end{cases} motsvarar de två linjerna  y=−x+2y=-x+2y=−x+2  och  y=x+4y=x+4y=x+4. Vi ritar grafen till   y=−x+2y=-x+2y=−x+2 blå och  y=x+4y=x+4y=x+4 röd. 
Linjärt ekvationssystem
Ekvationssystemets lösning återfinns i linjernas skärningspunkter. Här ovan ser vi att de bägge linjerna skär varandra i punkten  (−1, 3)\left(-1,\text{ }3\right)(−1, 3)vilket ger oss att lösningen för ekvationssystemet är  x=−1x=-1x=−1 och y=3y=3y=3 som vi kan skriva som {x=−1y=3\begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}

Antal lösningar till linjära ekvationssystem

Ett linjärt ekvationssystem kan ha tre olika typer av lösningar. Antingen exakt en lösning, vilket inträffar då graferna skär varandra i en punkt. Systemet kan annars ha oändligt antal lösningar, vilket inträffar när de bägge ekvationerna representerar samma linje. Slutligen kan ekvationssystemet sakna lösningar, vilket i sin tur inträffar då graferna till ekvationerna är parallella och har olika mmm-värden.

Lär dig mer om detta i vår kommande lektion om att lösa linjära ekvationssystem med grafisk metod.

Att lösa linjära ekvationssystem 

I denna kurs kommer vi lära oss hur man löser linjära ekvationssystem grafiskt och algebraiskt. De algebraiska metoder som presenteras är substitutionsmetoden och additionsmetoden. Dessa metoder kan även användas för att lösa ekvationssystem med tre obekanta.

Matriser och Gausselimination

Det finns ytterligare en metod för att lösa linjära ekvationssystem som kallas gausselimination. Man ställer då upp ekvationssystemet i en så kallad matris och utför radoperationer som radbyten, radmultiplikation och radaddition i matrisen för att hitta alla lösningar till ekvationssystemet.

Metoden används framförallt i högskolematematik inom kursen linjär algebra, och ingår alltså inte i gymnasiekurserna.

Nästa lektion: Grafisk lösning av linjära ekvationssystem

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server