Nationellt Prov Matematik 2a ht 2013 DEL D

Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna $\left(4,\text{ }3\right)$(4, 3) och $\left(6,\text{ }7\right)$(6, 7) 

Anna och Stina köper lördagsgodis. Anna köper $4$4 klubbor och $12$12 kolor och betalar $32$32 kronor. Stina köper $2$2  klubbor och $4$4 kolor och betalar $13$13 kronor.

– Vad kostar en klubba respektive en kola? undrar Anna.
– Det kan vi ta reda på genom att lösa ett ekvationssystem, säger Stina.

Stina tecknar följande ekvationssystem:

$\begin{cases} 4x+12y = 32 \\ 2x+4y = 13 \end{cases} $

a) Vad betyder $x$x respektive $y$y  i detta sammanhang?

b) Lös ekvationssystemet och bestäm vad en klubba respektive en kola kostar.

En rät linje har lutningen $k=3,5$k=3,5 och går genom punkten $\left(2,\text{ }5\right)$(2, 5) 
Går linjen även genom en punkt med $y$y-koordinaten $-500$−500?

Motivera ditt svar.

Hjördis är rörmokare och driver ett eget företag. Hon har fler jobb än hon hinner med och behöver anställa en ny person. I sin budget för nästa år tänker hon avsätta $350\text{ }000$350 000 kronor som ska räcka till både lön och arbetsgivaravgift för den nya personen.

Arbetsgivaravgiftens storlek är beroende av den anställdas ålder och månadslön. Se tabell.

Efter anställningsintervjuer har Hjördis bestämt sig för att anställa Anton eller Niklas.

Anton som är $24$24 år har begärt en månadslön på $25\text{ }000$25 000 kronor.
Niklas som är $28$28 år har begärt en månadslön på $24\text{ }000$24 000 kronor.

a) Beräkna den totala kostnaden som Hjördis får betala för lön och arbetsgivaravgift för Anton respektive Niklas. Kan Hjördis anställa vem som helst av dem och ändå klara budgeten på $350\text{ }000$350 000 kronor för nästa år?

b) Hjördis företag omsätter $2\text{ }000\text{ }000$2 000 000 kronor per år. Med en nyanställd i företaget är hennes mål att omsättningen ska fördubblas på tre år. Med hur många procent måste då omsättningen i genomsnitt öka varje år?

Bestäm konstanterna $a$a och $b$b så att ekvationssystemet $\begin{cases} y=ax+1 \\ a=y-3x \end{cases} $

får lösningen  $x=3$x=3 och  $y=2b$y=2b 

Adelina och Linda tränar brännboll. Adelina slår iväg bollen med ett slagträ och Linda tränar på att ta lyra, det vill säga fånga bollen innan den når marken.

Vid ett tillfälle kan bollens bana beskrivas med funktionen  $y=-0,10x^2+2x+1$y=−0,10x²+2x+1 

 $y$y är bollens höjd över marken i meter.
 $x$x är avståndet i meter längs marken från utslagsplatsen.

Hur långt från utslagsplatsen befinner sig Linda om hon fångar bollen $0,80$0,80 meter över marken?

För funktionen  $f$ƒ  gäller att  $f\left(x\right)=x^2$ƒ (x)=x² 

Bestäm alla värden på $a$a så att $f\left(2a\right)=a$ƒ (2a)=a 

För talen $x$x och $y$y gäller sambandet $x^2+2xy+y^2=9$x²+2xy+y²=9 

Visa algebraiskt att samtliga lösningar till sambandet kan beskrivas av två räta linjer.

Företaget ”Lexelius Hopp och Studs” säljer rektangulära studsmattor. Varje studsmattas långsida är dubbelt så lång som dess kortsida. Företaget rekommenderar att det finns en $2,0$2,0 meter bred säkerhetszon runt studsmattan och att säkerhetszonens area ska vara minst tre gånger så stor som studsmattans area.

Bestäm måtten på en studsmatta som har en 2,0 meter bred säkerhetszon och där säkerhetszonens area är tre gånger så stor som studsmattans area.