Nationellt Prov Matematik 2a vt 2014 DEL B och C

I koordinatsystemet finns en rät linje ritad.

Vilket av alternativen A-F visar ekvationen för den uppritade linjen?

A.  $y=-2x+0,5$y=−2x+0,5 

B.  $y=2x-1$y=2x−1 

C. $y=-2x-1$y=−2x−1 

D.  $y=2x+0,5$y=2x+0,5 

E. $y=0,5x-1$y=0,5x−1

F.$y=-x+2$y=−x+2  

Beräkna  $f\left(4\right)$ƒ (4) om  $f\left(x\right)=x^2+3x$ƒ (x)=x²+3x 

Den räta linjen $y=5x+m$y=5x+m går genom punkten $\left(3,\text{ }25\right)$(3, 25) 

Ange värdet på konstanten $m$m.

Förenkla $\left(y-6\right)^2+12y$(y−6)²+12y så långt som möjligt.

Lös ekvationen  $x\left(x-5\right)=0$x(x−5)=0 

Para ihop var och en av rutorna med ett korrekt påstående.

Bilden visar tre figurer som består av prickar. Figurerna bildas enligt ett mönster. Fler figurer kan bildas enligt samma mönster.

a) Hur många prickar har Figur 4?

b) Bestäm ett uttryck för antalet prickar i Figur $n$n.

På Carinas gård finns en kvadratisk hästhage med sidan $40$40 meter. I ena hörnet av hästhagen ska hon anlägga en utebox för sin skadade häst. Uteboxen ska ha formen av en kvadrat. I den återstående delen av hagen, som i figuren är gråfärgad, går hennes friska hästar.

Carina vill veta arean av den återstående delen av hagen och betecknar därför ena sidan i uteboxen med $x$x. Se figur.

Vilka två av alternativen A-E beskriver arean av den återstående delen av hagen?

A.  $\left(40-x\right)^2$(40−x)² 

B.  $\left(40-x\right)\left(40+x\right)$(40−x)(40+x) 

C.  $\left(40+x\right)^2$(40+x)² 

D.  $\left(40-x\right)^2-x^2$(40−x)²−x² 

E.   $40^2-x^2$40²−x² 

Figuren visar grafen till funktionen  $f\left(x\right)=2^x$ƒ (x)=2^x där  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) 

a) Använd grafen och bestäm  $f\left(2,5\right)$ƒ (2,5) 

b) Använd grafen och lös ekvationen $9=3\cdot2^x$9=3·2^x 

Figuren visar grafen till andragradsfunktionen $f$ƒ  där  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) 
Grafen går igenom origo och har symmetrilinjen $x=7$x=7 

a) Ange funktionens nollställen.

För en annan funktion $g$g gäller att $g\left(x\right)=2\cdot f\left(x\right)$g(x)=2·ƒ (x) 

b) För vilka $x$x gäller att  $g\left(x\right)$g(x)$<$<$f\left(x\right)$ƒ (x) 

Lös ekvationen  $x^2-12x+11=0$x²−12x+11=0 med algebraisk metod.

Lös ekvationssystemet $\begin{cases} x+2y=14 \\ 2x-y=3 \end{cases}$ med algebraisk metod.

En av lösningarna till ekvationen  $x^4=16$x⁴=16 är $x=2$x=2.

Ange ytterligare en lösning. Motivera ditt svar.

Tony ska tillverka en blomsterbåge till ett bröllop. Han använder sig av andragradsfunktionen $y=2x-x^2$y=2x−x² som modell för blomsterbågen.

 $y$y är blomsterbågens höjd över bordsskivan i meter.
 $x$x är avståndet i meter längs bordskivan mätt från blomsterbågens ena fästpunkt i bordet.

a) Bestäm avståndet mellan blomsterbågens båda fästpunkter.

b) Bestäm största höjden mellan bordsskivan och blomsterbågen.

För funktionen $f$ƒ  gäller att $f\left(x\right)=x^2-2ax+3$ƒ (x)=x²−2ax+3  där $a$a är en konstant.
Bestäm $a$a så att $f\left(-3\right)=0$ƒ (−3)=0 

Figuren visar den räta linjen $y=-0,1x+6$y=−0,1x+6  och en likbent triangel som är gråmarkerad. Triangelns bas ligger på $x$x-axeln och dess ena sida på den räta linjen. Triangelns ena hörn ligger i origo, se figur.

Bestäm arean för den gråmarkerade triangeln.

Lös ekvationen

 $9^{\frac{x}{3}}+9^{\frac{x}{3}}+9^{\frac{x}{3}}+9^{\frac{x}{3}}=12$9^x3 +9^x3 +9^x3 +9^x3 =12 

 I en lärobok i matematik står det:

”Om differensen mellan två tal är $1$1 så är differensen mellan det större talets kvadrat och det mindre talets kvadrat alltid lika stor som talens summa.”

Visa att påståendet gäller för alla sådana tal.

För en rät linje,  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x),  gäller:

•  $f\left(1\right)=8$ƒ (1)=8 
•  $f\left(x+2\right)=f\left(x\right)+6$ƒ (x+2)=ƒ (x)+6 

Bestäm ekvationen för den räta linjen