Nationellt prov Matematik 2c ht 2015 DEL D

I en rätvinklig triangel $ABC$ABC är sidan $AB$AB  $5,6$5,6 cm och sidan $BC$BC  $1,8$1,8 cm.
Triangeln $DEF$DEF är likformig med triangeln $ABC$ABC. Sidan $EF$EF är dubbelt så lång som sidan $BC$BC, se figur.

Hur många gånger större är arean av triangeln $DEF$DEF än arean av triangeln $ABC$ABC?

Edvin och Svante ska tillverka skal till mobiltelefoner. De har gjort beräkningar och kommit fram till att de kan producera maximalt $350$350 paket med mobilskal. Varje paket innehåller 10 mobilskal. De ställer upp modeller för intäkt och kostnad enligt nedan.

Intäkten $I$I kr för $x$x stycken sålda paket: $I\left(x\right)=650x$I(x)=650x 
Kostnaden $K$K kr för att tillverka $x$x stycken paket: $K\left(x\right)=x^2+80x+1000$K(x)=x²+80x+1000 

Vinsten $V$V kr ges av skillnaden mellan intäkten $I$I kr och kostnaden $K$K kr:

 $V\left(x\right)=650x-\left(x^2+80x+1000\right)$V(x)=650x−(x²+80x+1000) 

Anta att Edvin och Svante säljer alla paket som de tillverkar. Bestäm hur många paket de ska tillverka för att vinsten $V\left(x\right)$V(x) ska bli maximal.

Det bensinpris som en kund betalar vid tankning består bland annat av bensinens inköpspris, skatt och bensinbolagens påslag för exempelvis personalkostnader.

En förenklad modell för att beskriva bensinbolagens påslag ges av
 $f\left(x\right)=0,80\cdot1,104^x$ƒ (x)=0,80·1,104^x 
där $f\left(x\right)$ƒ (x) är bensinbolagens påslag i kr/liter och $x$x är antal år efter 1 januari 2008.

Bestäm vilket år bensinbolagens påslag nådde $1,50$1,50 kr/liter enligt modellen.

Bestäm konstanten $a$a så att en rät linje genom punkterna $\left(a,\text{ }a^2\right)$(a, a²) och $\left(-2;\text{ }3,19\right)$(−2; 3,19) har lutningen $4,2$4,2 

Figuren visar en cirkel med medelpunkten $M$M och två trianglar $ABC$ABC och $BDF$BDF. Sträckan $BE$BE är cirkelns diameter.

a) Visa att trianglarna $ABC$ABC och $BDF$BDF är likformiga.

b) Sträckan $BD$BD är $13,8$13,8 cm och $BF$BF är $5,6$5,6 cm. Sträckorna $BC$BC och $CE$CE är lika långa. Beräkna sträckan $AB$AB om cirkelns diameter är $6,0$6,0 cm.

En viss positions läge på jorden i nord-sydlig led uttrycks med hjälp av latituder. Latituden har bestämts att vara $0°$0° vid ekvatorn samt $90^{\circ}$90^∘ nord vid nordpolen och $90^{\circ}$90^∘ syd vid sydpolen.

Tabellen och diagrammet visar latitud och årsmedeltemperatur för några
städer i Australien.

Bestäm ett linjärt samband mellan städernas årsmedeltemperatur, $y$y °C, och latitud, $x$x grader.

Laila avläser lufttrycket på sin barometer varje dag. Den första dagen varje månad antecknar hon värdet.

Efter ett år beräknar hon medelvärdet av sina $12$12 antecknade värden till $1013$1013 hPa (hektopascal) och standardavvikelsen till $11,8$11,8 hPa. De två följande månaderna antecknar hon lufttrycken $1011$1011 hPa och $1015$1015 hPa.

a) Hur förändras medelvärdet för lufttrycket när de två nya värdena räknas in? Motivera ditt svar.

b) Beräkna standardavvikelsen för alla $14$14 antecknade lufttryck.

Kim ska tillverka tallriksunderlägg av överblivna tygbitar från en fabrik.
Han får veta att tygbitarna har formen av en rätvinklig triangel med basen $60$60 cm och höjden $90$90 cm. Ur dessa tygbitar ska Kim klippa rektangulära tallriksunderlägg med bredden $x$x och längden $y$y, se figur.

Kim vill undersöka hur han ska klippa för att tallriksunderläggens area ska bli så stor som möjligt. Han ritar in en tygbit i ett koordinatsystem, se figur.

Beräkna den bredd $x$x och den längd $y$y som ger den största arean för ett tallriksunderlägg.