Författare:
Simon Rybrand
Här kan du göra DEL B och DEL C på det nationella provet till kurs Matematik 3b. Provet genomfördes vt 2013. I det här provet kan du först göra det på egen hand och när det rättas får du tips och fullständiga förklaringar på alla uppgifter. Del B Uppgift 1-11. Endast svar krävs. Del C Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Delprov B och Delprov C tillsammans.
X-uppgifter (16)
Del B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs
2.
Förenkla så långt som möjligt
a) 3x+242x+16
b) x(x8+2)+2x9−2x
Svar:Se mer: Förenkla rationella uttryckRättar...3.
Hur många termer har den geometriska summan nedan?
2+2·0,1+2·0,12+2·0,13+…+2·0,117
Svar:Se mer: Geometrisk talföljdRättar...4. Premium
Funktionen ƒ är kontinuerlig. Rita i koordinatsystemet nedan en skiss som visar hur grafen till ƒ kan se ut om det gäller att:
- Grafen går genom de markerade punkterna (1, 3), (3, 3) och (5, 3)
- ƒ ’(1)>0
- ƒ ’(3)<0
- ƒ ’(5)>0
Svar:Rättar...5. Premium
I figuren visas grafen till tredjegradsfunktionen ƒ . Lös ekvationen ƒ (x)=2 grafiskt.
Svar:Rättar...6. Premium
Bestäm ƒ ’(x)
a) ƒ (x)=3x4−7x+5
b) ƒ (x)=xk+k
c) ƒ (x)=x+5x2x
Svar:Rättar...7. Premium
Figuren visar grafen till funktionen ƒ . Bestäm ett närmevärde till ∫05ƒ (x)dx−∫03ƒ (x)dx.
Svar:Rättar...8. Premium
Funktionen ƒ beskriver hur en växande vattenmelons vikt y beror av tiden t, det vill säga ƒ (t)=y. Vikten y anges i hg (hektogram) och tiden t i veckor.
Vad får du veta genom att bestämma ƒ ’(3)?
Rättar...9. Premium
a) Ge ett exempel på en polynomfunktion ƒ av fjärde graden för vilken det gäller att ƒ (1)=4.
b) Det finns flera rationella uttryck som uppfyller följande villkor:
- Uttrycket får värdet 0 då x=−1
- Uttrycket är inte definierat för x=3
- Uttrycket är inte definierat för x=−4
Ge ett exempel på ett rationellt uttryck som uppfyller alla tre villkor.
Svar:Rättar...10. Premium
I en sjö planterar man in fiskar av en art som inte funnits där tidigare. Fiskpopulationen kan beskrivas med sambandet
N(t)=150003+2e−0,5·t där N är antalet fiskar och t är tiden i år efter inplanteringen.
a) Hur många fiskar planterades in i sjön från början?
b) På grund av olika miljöfaktorer kan antalet fiskar inte bli hur stort som helst. Bestäm den övre gränsen för antalet fiskar med hjälp av sambandet
Svar:Se mer: GränsvärdenRättar...11. Premium
Funktionen ƒ har en primitiv funktion F. Grafen till F visas i figuren nedan.
a) Vilken av graferna A−F visar en annan primitiv funktion till ƒ ?
En annan funktion g har en primitiv funktion G. En av graferna A−F visar den
primitiva funktionen G.b) Vilken av graferna A−F visar G om g(x)dx=3
Svar:Rättar...Del C: Digitala verktyg är inte tillåtna. Fullständiga lösningar krävs
13. Premium
En trädgårdsmästare ska göra en blomrabatt runt hörnet på ett hus. Längs sidorna som inte angränsar mot huset kommer hon att sätta gräskant, se figur 1. Hon vill utforma rabatten så att sidorna BC och CD är lika långa, se figur 2
I trädgårdsmästarens förråd finns en rulle med 6 m gräskant och hon tänker använda hela rullen. Arean för blomrabatten blir då
A(x)=6x−3x2
där x är blomrabattens bredd i meter, se figur 2.
a) Trädgårdsmästaren vill att blomrabatten ska ha så stor area som möjligt. Beräkna med hjälp av derivata bredden x så att arean blir maximal.
b) Vilka värden kan arean A anta i detta sammanhang?
c) Visa att arean för blomrabatten i figur 2 kan beskrivas av A(x)=6x−3x2 om trädgårdsmästaren använder 6 m gräskant.
Svar:Rättar...14. Premium
Beräkna (x+8)6−(x+8)5(x+8)5 då x=2,7
Svara exakt.
Svar:Rättar...15. Premium
Kurvan y=e2x är ritad i figuren nedan. Punkten P har y-koordinaten 4
Bestäm kurvans lutning i punkten P.
Svara exakt och på så enkel form som möjligt.
Svar:Rättar...16. Premium
Bevisa att den triangel som innesluts av de positiva koordinataxlarna och en tangent till kurvan y=1x har arean 2 areaenheter oavsett var tangenten tangerar kurvan.
Utgå från att tangeringspunkten har koordinaterna (a, 1a )
Svar:Se mer: Tangentens ekvation och lutningRättar...