Nationellt Prov Matematik 3c ht 2014 DEL B och C

Bestäm $f´\left(x\right)$ƒ ´(x) om

a)  $f\left(x\right)=4x^3+7x+1$ƒ (x)=4x³+7x+1 

b)  $f\left(x\right)=e^{2x}$ƒ (x)=e^2x 

Bestäm  $\left|3-3^2\right|$|3−3²| 

Figurerna visar de huvudsakliga egenskaperna hos graferna till sex olika funktioner.

a) Två av figurerna A-F visar en graf till en diskret funktion. Vilka två? 

b) Två av figurerna A-F visar en graf till en funktion som är kontinuerlig för alla $x$x. Vilka två?

Figuren visar grafen till funktionen $f$‍ƒ .

a) Bestäm $\int_0^4f\left(x\right)dx$∫₀⁴ƒ (x)dx 

b) Bestäm $f´\left(5\right)$ƒ ´(5) 

Förenkla uttrycken så långt som möjligt.

a)  $x\left(7+x\right)\left(7-x\right)+x^3$x(7+x)(7−x)+x³ 

b)  $\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\right)^{-1}$(1x +1x )⁻¹ 

c)  $\frac{2}{x-2}+\frac{x}{2-x}$2x−2 +x2−x  

Cirkelns ekvation kan skrivas $\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$(x−a)²+(y−b)²=r². 

Punkten $\left(7,\text{ }5\right)$(7, 5)  ligger på en cirkel som har sin medelpunkt i  $\left(5,\text{ }3\right)$(5, 3), se figur.

Bestäm $a$a, $b$b och $r$r för denna cirkel.

För en polynomfunktion $f$ƒ  gäller att derivatan har endast två nollställen. Tabellen visar derivatans tecken för några olika värden på $x$x.

Använd koordinatsystemet nedan och skissa en möjlig graf till funktionen $f$ƒ  .

Det finns flera rationella uttryck som uppfyller följande villkor:

• Uttrycket har värdet $0$0 endast då $x=-5$x=−5 
• Uttrycket är inte definierat för $x=10$x=10 

Ge ett exempel på ett rationellt uttryck som uppfyller båda villkoren.

Figuren visar hur vatten fylls i ett glas. Glaset är smalare nedtill. Vattnet rinner ur kranen med konstant hastighet. Vattenytans höjd $h$h över glasets botten är en funktion av tiden $t$t.

Vilken av graferna A-F beskriver bäst derivatan $h´\left(t\right)$h´(t) under den tid som glaset fylls?

Ge ett exempel på en funktion $f$ƒ  som inte är konstant och som har gränsvärdet $3$3 då $x\rightarrow\infty$x→∞ 

Figuren visar en enhetscirkel som tangeras av en linje $L$L som är parallell med y-axeln. På linjen $L$L ligger en punkt $Q$Q som har y-koordinaten $t$t. Sträckan mellan origo och punkten $Q$Q bildar vinkeln $v$v med x-axeln.

För vinkeln $v$v gäller att $ 0° < v < 90° $

Bestäm $\cos v$cosv uttryckt i $t$t.

Olle och Olga säljer kantareller och funderar på att höja kantarellernas kilopris för att öka dagsinkomsten. De har kommit fram till att dagsinkomsten som funktion av prishöjningen ges av

 $f\left(x\right)=-0,1x^2+5x+3000$ƒ (x)=−0,1x²+5x+3000 

där $f\left(x\right)$ƒ (x) dagsinkomsten i kr och $x$x är prishöjningen i kr/kg.

Beräkna, med hjälp av derivata, vilken prishöjning $x$x som ger den största dagsinkomsten.

Beräkna

a)  $\int_1^24x^3dx$∫₁²4x³dx 

b)    $\int_2^4\frac{2}{x^2}dx$∫₂⁴2x² dx 

Bestäm $f”\left(4\right)$ƒ ”(4)  om $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}}{2}$ƒ (x)=√x2  

Ange svaret på enklaste form.

Vad måste gälla för att linjen $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) ska tangera kurvan $y=g\left(x\right)$y=g(x) i den punkt där $x=a$x=a.

Ett stambråk är ett bråk där täljaren är $1$1 och nämnaren är ett positivt heltal, det vill säga $\frac{1}{2},\text{ }\frac{1}{3},\text{ }\frac{1}{4}$12 , 13 , 14  och så vidare.
Egyptierna använde sig av stambråk i sina beräkningar. Istället för att skriva $\frac{5}{6}$56  skrev de bråket som en summa av olika stambråk:  $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$12 +13  

Bråket $\frac{2}{3}$23  kan skrivas som summan av tre stambråk som uppfyller villkoren:

• Det andra stambråket har en nämnare som är $3$3 gånger så stor som det första stambråkets nämnare.
• Det tredje stambråket har en nämnare som är $1$1 mindre än det första stambråkets nämnare.

Ställ upp en ekvation och visa genom att lösa denna att det endast finns ett sätt att skriva bråket $\frac{2}{3}$23  som en summa av tre stambråk, om villkoren gäller.