Nationellt prov Matematik 3c vt 2016 del D

Beräkna längden på sidan $x$x i triangeln.

Figuren visar grafen till en funktion $f$ƒ  . Grafen går genom de tre markerade punkterna.

Bestäm  $\int_{_{-2}}^{^6}f\left(x\right)dx$∫₋₂⁶ƒ (x)dx 

En viss UHD-tv kostar idag $33\text{ }700$33 700 kr men den minskar snabbt i värde.
Värdet av tv:n kan beskrivas med modellen

 $V\left(t\right)=33\text{ }700e^{-0,034\cdot t}$V(t)=33 700e^−0,034·t 

där $V\left(t\right)$V(t) är värdet av tv:n i kronor och $t$t är tiden i månader efter inköpet.

a) Bestäm hur många månader efter inköpet som tv:n är värd $20\text{ }000$20 000 kr.

b) Bestäm vid vilken tidpunkt som värdeminskningen (i kr/mån) är hälften så stor som värdeminskningen vid inköpet.

Ken ska anlägga en gräsmatta på sin tomt. Han mäter sidorna till $13$13 m, $20$20 m, $10$10 m och $24$24 m. Se figur. En av gräsmattans vinklar är $90^{\circ}$90^∘.

Ken har gräsfrö som räcker till $250$250 m$^2$². Avgör om gräsfröna kommer att räcka till hela gräsmattan.

Albins vikt kan beskrivas med funktionen

$V\left(t\right)=0,10t^3-1,23t^2+6,51t+3,72$V(t)=0,10t³−1,23t²+6,51t+3,72 

där vikten $V$V kg är en funktion av tiden $t$t år efter födseln. Funktionen gäller under hans sex första levnadsår.

Den hastighet som Albins vikt ökar med varierar. Bestäm vilka värden hastigheten kan anta under Albins sex första levnadsår.

För polynomfunktionen $f$ƒ  gäller att $f'(x)>0$ƒ ’(x)>0 för alla $x$x.

Bestäm antalet reella lösningar till ekvationen $f\left(x\right)=0$ƒ (x)=0.

Sam och Sofia har fått överblivna tygbitar från en möbelfabrik. Tygbitarna har en rundad sida som kan beskrivas med kurvan $y=-0,5x^3+x+3$y=−0,5x³+x+3

De tänker klippa både rektangulära och kvadratiska tygservetter och vill att varje tygbit ska räcka till en servett. De tänker använda tygbitarnas raka kanter som sidor i servetterna. Se figur.

Sam och Sofia vill att servetterna ska ha så stor area som möjligt.

a) Bestäm bredden på de rektangulära tygservetterna så att arean blir så stor som möjligt. Svara i dm med två decimalers noggrannhet.

b) Bestäm sidan på de kvadratiska tygservetterna så att arean blir så stor som möjligt. Svara i dm med två decimalers noggrannhet.

För funktionen $f$ƒ  gäller att  $f\left(x\right)=x^3+kx^2+2,9kx$ƒ (x)=x³+kx²+2,9kx 
där konstanten $k>0$k>0 
Grafen till funktionen har en terrasspunkt för ett visst värde på $k$k.

Bestäm detta värde på $k$k.