Primtal

Ett primtal är ett heltal som är större än 1 som endast är delbart med talet 1 och sig självt. 

De positiva heltalen kan delas upp i primtal och sammansatta tal. De sammansatta talen är produkter av primtal i olika kombinationer och kan därför primtalsfaktoriseras.

Här följer alla primtal mellan $1$ och $100$.

$2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17,$ $\,19,\,23,\,29,\,31,\,37,\,$ $41,\,43,\,47,\,53,\,59,\,61,\,$ $67,\,71,\,73,\,79,\,$ $83,\,89,\,97$

Men det finns oändligt många fler primtal.

Ett sätt att förstå primtalen är att tänka dem som matematikens legobitar. En erfaren legobyggare ser på sin konstruktion som en sammansättning av olika bitar. Genom att kombinerar de olika bitarna på olika sätt kan man konstruera hur stora modeller som helst.

Men konstruktionen består i sin helhet av olika mindre delar. Man kan plocka isär modellen i sina små beståndsdelar igen och genom att kombinera dem på ett nytt sätt få en annorlunda modell. På liknade sätt ser en matematiker talet $30$30 som en produkt av en tvåa, en trea och en femma. 

De positiva heltalen kan nämligen delas upp i primtal och sammansatta tal, där primtalen är de sammansatta talens mindre beståndsdelar. De sammansatta talen byggs upp av primtalsfaktorer. 

Primtalen har fascinerat och intresserat matematiker i många hundra år. Den grekiske matematikern Euklides (född $325$ f. Kr.) visade att det finns ett oändligt antal primtal. Men trots detta är det inte helt enkelt att hitta ett stort primtal bland en massa sammansatta tal. Detta då primtalen inte följer något speciellt mönster med vilka intervall de kommer på tallinjen. Denna oregelbundenhet har gjort att man har stor nytta av primtal inom exempelvis kryptering av datatrafik.

Ett positiv heltal som inte är ett primtal är ett sammansatt tal. Talet är sammansatt av multiplikation mellan primtal. På grund av detta kan man kan dela upp alla sammansatt tal i faktorer. Man säger att man primtalsfaktoriserar.

Delaren som inte är talet själv eller ett, kallas för en äkta delare. En äkta delare $d$d, definieras som delbart med något heltal, utöver talen  $\pm1$±1 och  $\pm d$±d , alltså talet självt och talet självt med ombytt tecken.

När man faktoriserar ett tal så delar du upp det i så kallade faktorer. Exempelvis skulle vi kunna faktorisera $12 = 2\cdot6$. Då har vi delat upp siffran i faktorer, dock inte primtalsfaktorer då siffran 6 inte är ett primtal. Istället kallar man då 6 för ett sammansatt tal, d.v.s. ett heltal som inte är ett primtal. Istället får vi fortsätta att faktorisera $12 = 2\cdot2\cdot3$ så att det bara består av primtal.

Till hjälp för att primtalsfaktorisera tal kan så kallade faktorträd användas. Här delar man steg för steg upp ett tal i mindre och mindre faktorer tills det endast består av primtal. Alla heltal större än noll kan faktoriseras så att de endast består av primtal.

Begreppet delbarhet motsvarar att kvoten man får när man dividerar två heltal, också är ett heltal.  Som vi tidigare nämnde kan alla heltal delas upp i primtal och sammansatta tal. De har olika möjliga delare, men alla heltal är åtminstone delbara med sig själv och talet $1$. 

Man kan då säga att ”$b$ delar $a$” eller att ”$b$ är en delare till $a$”, vilket skrivs som $b \, | \, a$.

Exempelvis delar talet $2$ talet $28$ då  $\frac{28}{2}=$282 =$14$14 , eftersom att kvoten är ett heltal och vi säger att $2 \, | \, 28$, som vi uttalar som ”$2$ delar $28$” eller ”$2$ är en delare till $28$”.

Om vi exempelvis har talet  $12$12  så är detta tal delbart med $12,\text{ }6,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }2$12, 6, 3, 4, 2 och $1$1. Detta beror på att talet $6$ är ett så kallat sammansatt tal, vilket har primtalsfaktorerna $12=2\cdot2\cdot3$12=2·2·3. Där med är talet  $12$12 delbart med med sig själv och talet $1$1, talets primtalsfaktorer $2$2 och $3$3 samt alla möjlig kombinationer av dessa. Alltså $2\cdot2=4$2·2=4,  $2\cdot3=6$2·3=6 

När man ska primtalsfaktorisera och jobba med delare underlättar det om man har kan några Delbarhetsregler.

I kommande lektioner presenterar vi fler regler kring delbarhet att lära in utantill. Men de ovan är en bra start.

Eftersom att ett primtal bara är delbart med sig självt och talet  $1$1, kan vi undersöka om ett tal är ett primtal eller ej genom att dividera det med ett antal olika tal. För om talet är delbart med något annat tal än ett och sig självt är det inget primtal, utan ett sammansatt tal.

Vilka tal ska man då välja att dividera med? För att kontrollera talet $n$n, räcker det att man dividerar  $n$n med alla primtal mindre eller lika med  $\sqrt{n}$√n.

Varför då? Jo, eftersom att om talet är sammansatt, kan det skrivas som en produkt av talen $a$a och $b$b.

Det i sin tur leder till att om $n=a\cdot b$n=a·b  måste  $a\le\sqrt{n}$a≤√n   eller  $b\le\sqrt{n}$b≤√n,  eftersom att vi då får att  $a\cdot b\le\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}=n$a·b≤√n·√n=n.  Och om då talet $n$n inte är delbart med talet $\sqrt{n}$√n eller någon primtal mindre än det kommer det inte heller vara delbart med något annat tal.

Vi tar ett exempel för att förtydliga detta.

Nedan kan du med hjälp av ”Eratosthenes såll” leta primtal.  Det är en algoritm (ungefär samma sak som en metod) som uppfanns av greken Eratosthenes för att lista alla primtal. Du väljer här upp till vilket tal som du vill hitta primtal och trycker på ”Leta primtal”. Då används Eratosthenes algoritm för att undersöka vilka tal som är primtal upp till ditt valda tal. Nedanför sökverktyget ser du hur själva algoritmen fungerar.

1. Gör en lista på alla tal från $2$ till ett tal du väljer, vi kallar det för $n$.
2. Ta bort alla jämna tal från listan som är större än $2$. Ett alternativ för oss som har datorer är att direkt göra en lista på alla udda tal större än $2$.
3. Det första talet i listan är nu ett primtal, nämligen talet $3$. 
4. Behåll talet men ta bort alla andra tal som är delbara av det primtalet. Dessa tal kan ju inte vara ett primtal.
5. Upprepa nu steg $3$ och $4$ tills du har nått ett tal som är större än kvadratroten ur ditt maxtal $n$. D.v.s. genom att ta kvadratroten ur ditt tal så hittar du det största tal som kan vara en primtalsfaktor till ditt tal.
6. De tal som blir kvar i listan är endast primtal.

• Primtalsfaktorisera talet $12$.
• Primtalsfaktorisera talet $66$
• Primtalsfaktorisera talet $224$ med hjälp av ett faktorträd.