00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Ett primtal är ett heltal som är större än 1 som endast är delbart med talet 1 och sig självt. 

Primtalsfaktorisering

Definition av primtal

De positiva heltalen kan delas upp i primtal och sammansatta tal. De sammansatta talen är produkter av primtal i olika kombinationer och kan därför primtalsfaktoriseras.

Primtal

Ett heltal pp är ett primtal om p>1p>1 och endast är delbart med 11 eller pp.

Här följer alla primtal mellan 11 och 100100.

2,3,5,7,11,13,17, 2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17, 19,23,29,31,37,\,19,\,23,\,29,\,31,\,37,\, 41,43,47,53,59,61,41,\,43,\,47,\,53,\,59,\,61,\, 67,71,73,79,67,\,71,\,73,\,79,\, 83,89,9783,\,89,\,97

Men det finns oändligt många fler primtal.

Matematikens legobitar

Ett sätt att förstå primtalen är att tänka dem som matematikens legobitar. En erfaren legobyggare ser på sin konstruktion som en sammansättning av olika bitar. Genom att kombinerar de olika bitarna på olika sätt kan man konstruera hur stora modeller som helst.

Men konstruktionen består i sin helhet av olika mindre delar. Man kan plocka isär modellen i sina små beståndsdelar igen och genom att kombinera dem på ett nytt sätt få en annorlunda modell. På liknade sätt ser en matematiker talet 303030 som en produkt av en tvåa, en trea och en femma. 

De positiva heltalen kan nämligen delas upp i primtal och sammansatta tal, där primtalen är de sammansatta talens mindre beståndsdelar. De sammansatta talen byggs upp av primtalsfaktorer

Primtalen har fascinerat och intresserat matematiker i många hundra år. Den grekiske matematikern Euklides (född 325325 f. Kr.) visade att det finns ett oändligt antal primtal. Men trots detta är det inte helt enkelt att hitta ett stort primtal bland en massa sammansatta tal. Detta då primtalen inte följer något speciellt mönster med vilka intervall de kommer på tallinjen. Denna oregelbundenhet har gjort att man har stor nytta av primtal inom exempelvis kryptering av datatrafik.

Definitionen av Sammansatta tal

Ett positiv heltal som inte är ett primtal är ett sammansatt tal. Talet är sammansatt av multiplikation mellan primtal. På grund av detta kan man kan dela upp alla sammansatt tal i faktorer. Man säger att man primtalsfaktoriserar.

Sammansatta tal

Ett sammansatt tal är ett heltal större än 111, som för utom sig självt och talet 11, har ytterligare en delare.

Delaren som inte är talet själv eller ett, kallas för en äkta delare. En äkta delare ddddefinieras som delbart med något heltal, utöver talen  ±1\pm1±1 och  ±d\pm d±d , alltså talet självt och talet självt med ombytt tecken.

Att Primtalsfaktorisera

När man faktoriserar ett tal så delar du upp det i så kallade faktorer. Exempelvis skulle vi kunna faktorisera 12=2612 = 2\cdot6. Då har vi delat upp siffran i faktorer, dock inte primtalsfaktorer då siffran 6 inte är ett primtal. Istället kallar man då 6 för ett sammansatt tal, d.v.s. ett heltal som inte är ett primtal. Istället får vi fortsätta att faktorisera 12=22312 = 2\cdot2\cdot3 så att det bara består av primtal.

Exempel 1

Primtalsfaktorisera talet 456456.

Lösning

Vi delar upp talet steg för steg till vi endast har faktorer som är primtal.

456=2228456=2⋅228
          =22114\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2⋅2⋅114
          =22257\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2⋅2⋅2⋅57
          =222319\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2⋅2⋅2⋅3⋅19

Primtalsfaktorisera med faktorträd

Till hjälp för att primtalsfaktorisera tal kan så kallade faktorträd användas. Här delar man steg för steg upp ett tal i mindre och mindre faktorer tills det endast består av primtal. Alla heltal större än noll kan faktoriseras så att de endast består av primtal.

Exempel 2

Faktorisera talet 124124124 med hjälp av ett faktor träd.

Lösning

Nedan används ett faktorträd för att dela upp talet 186 186 i primtalsfaktorer.

Faktorträd

Delare och delbarhet

Begreppet delbarhet motsvarar att kvoten man får när man dividerar två heltal, också är ett heltal.  Som vi tidigare nämnde kan alla heltal delas upp i primtal och sammansatta tal. De har olika möjliga delare, men alla heltal är åtminstone delbara med sig själv och talet 11

Heltalet aaa är delbart med ett heltal b0b\ne0b0 om kvoten ab\frac{a}{b}ab  är ett heltal.

Man kan då säga att ”bb delar aa” eller att ”bb är en delare till aa”, vilket skrivs som ba b \, | \, a .

Exempelvis delar talet 22 talet 2828 då  282=\frac{28}{2}=282 =141414 , eftersom att kvoten är ett heltal och vi säger att 228 2 \, | \, 28 , som vi uttalar som ”22 delar 2828” eller ”22 är en delare till 2828”.

Delbarhet för primtal och sammansatta tal

Alla primtal är alltid och endast delbara med sig själva och talet 11.

Alla sammansatta tal är alltid delbara med sig själva och talet 11, samt talets alla primtalsfaktorer och alla produkter som är möjliga att skapa genom att kombinera primtalsfaktorerna.

Om vi exempelvis har talet  121212  så är detta tal delbart med 12, 6, 3, 4, 212,\text{ }6,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }212, 6, 3, 4, 2 och 111. Detta beror på att talet 66 är ett så kallat sammansatt tal, vilket har primtalsfaktorerna 12=22312=2\cdot2\cdot312=2·2·3. Där med är talet  121212 delbart med med sig själv och talet 111, talets primtalsfaktorer 222 och 333 samt alla möjlig kombinationer av dessa. Alltså 22=42\cdot2=42·2=4,  23=62\cdot3=62·3=6 

Delbarhetsregler

När man ska primtalsfaktorisera och jobba med delare underlättar det om man har kan några Delbarhetsregler.

Delbarhetsregler

Talet är delbart med…

   22      då talet är jämnt.
   33      då talets siffersumma är delbar 33
   55      då talets slutsiffra är 00 eller 55.
   1010    då talets slutsiffra är 00.

I kommande lektioner presenterar vi fler regler kring delbarhet att lära in utantill. Men de ovan är en bra start.

Kontrollera om talet är ett primtal

Eftersom att ett primtal bara är delbart med sig självt och talet  111, kan vi undersöka om ett tal är ett primtal eller ej genom att dividera det med ett antal olika tal. För om talet är delbart med något annat tal än ett och sig självt är det inget primtal, utan ett sammansatt tal.

Vilka tal ska man då välja att dividera med? För att kontrollera talet nnn, räcker det att man dividerar  nnn med alla primtal mindre eller lika med  n\sqrt{n}n.

Varför då? Jo, eftersom att om talet är sammansatt, kan det skrivas som en produkt av talen aaa och bbb.

Det i sin tur leder till att om n=abn=a\cdot bn=a·b  måste  ana\le\sqrt{n}an   eller  bnb\le\sqrt{n}bn,  eftersom att vi då får att  abnn=na\cdot b\le\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}=na·bn·n=n.  Och om då talet nnn inte är delbart med talet n\sqrt{n}n eller någon primtal mindre än det kommer det inte heller vara delbart med något annat tal.

Vi tar ett exempel för att förtydliga detta.

Exempel 3

Undersök om talet 211211211 är ett primtal.

Lösning

Om 211211211 inte är ett primtal kan det faktoriseras till en produkt , så här,  211=ab211=a\cdot b211=a·b. Talet 211211211 skulle eventuellt kunna delas upp i många fler faktorer än två, men den största möjliga faktor skulle i alla fall vara 211\sqrt{211}211.

Varför det? Jo, för att om vi skriver tvåhundraelva som produkten aba\cdot ba·b, kan vi konstatera att om  a211a\le\sqrt{211}a211  måste  b211b\ge\sqrt{211}b211 och tvärt om.

Utifrån detta resonemang kan vi dra slutsatsen att den största möjliga heltalsfaktorn vi kan faktorisera talet 211211211 med är talet 151515 eftersom att 21115\sqrt{211}\approx1521115.

För om talet 211211211 inte är delbart med ett tal mindre än 151515 kommer det inte heller vara delbart med ett annat tal än sig självt större än 211211211, eftersom att

 211<1515211<15\cdot15211<15·15.

Vi undersöker nu delbarheten med alla primtal p15p\le15p15. Vi behöver inte kolla talet  151515 eftersom att det är en produkt av talen  333  och  555  och de då redan kollats. Primtalen är  2, 3, 5, 72,\text{ }3,\text{ }5,\text{ }72, 3, 5, 7 och  111111.

Talet 22 är inte en delare till 211211
Talet 33 är inte en delare till 211211
Talet 55 är inte en delare till 211211
Talet 77 är inte en delare till 211211
Talet 1111 är inte en delare till 211211

Därmed är talet 211211211 ett primtal. Detta eftersom att det inte är delbart med något primtal mindre än roten ur sig självt.

Eratosthenes såll

Nedan kan du med hjälp av ”Eratosthenes såll” leta primtal.  Det är en algoritm (ungefär samma sak som en metod) som uppfanns av greken Eratosthenes för att lista alla primtal. Du väljer här upp till vilket tal som du vill hitta primtal och trycker på ”Leta primtal”. Då används Eratosthenes algoritm för att undersöka vilka tal som är primtal upp till ditt valda tal. Nedanför sökverktyget ser du hur själva algoritmen fungerar.

  1. Gör en lista på alla tal från 22 till ett tal du väljer, vi kallar det för nn.
  2. Ta bort alla jämna tal från listan som är större än 22. Ett alternativ för oss som har datorer är att direkt göra en lista på alla udda tal större än 22.
  3. Det första talet i listan är nu ett primtal, nämligen talet 33
  4. Behåll talet men ta bort alla andra tal som är delbara av det primtalet. Dessa tal kan ju inte vara ett primtal.
  5. Upprepa nu steg 33 och 44 tills du har nått ett tal som är större än kvadratroten ur ditt maxtal nn. D.v.s. genom att ta kvadratroten ur ditt tal så hittar du det största tal som kan vara en primtalsfaktor till ditt tal.
  6. De tal som blir kvar i listan är endast primtal.

Exempel i videon

  • Primtalsfaktorisera talet 1212.
  • Primtalsfaktorisera talet 6666
  • Primtalsfaktorisera talet 224224 med hjälp av ett faktorträd.