Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 3
/ Primitiva funktioner och integraler
Beräkna integraler
Innehåll
När du beräknar ett värde för en integral så används integralkalkylens fundamentalsats. Grafiskt motsvarar integralens värde arean mellan grafer i ett intervall.
Hur man beräknar en Integral algebraiskt
I de fall där du inte kan beräkna integralens exakta värde grafiskt, alltså genom att beräkna arean mellan kurvan och $x$x-axeln med någon känd geometrisk form, behöver vi göra det algebraiskt. I denna kurs använder vi integralkalkylens fundamentalsats, eller insättningsformeln som en del väljer att kallad den istället, för den algebraiska beräkningen.
Integralkalkylens fundamentalsats
Arenan mellan grafen $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) och $x$x-axeln i intervallet t $a\le$a≤$x\le$x≤ $b$b kan beräknas med följande.
$ \int\limits_0^1$ $f(x)dx=[F(x)]^{^b}_{_a}=F(b)-F(a)$ƒ (x)dx=[F(x)]ba=F(b)−F(a)
där
- $a$a är den undre integrationsgränsen, som begränsar arean åt vänster
- $b$b är den övre integrationsgränsen, som begränsar arean åt höger
- $f\left(x\right)$ƒ (x) är integranden, som är den funktion vars graf begränsar arenan uppåt
- $x$x i skrivningen $dx$dx anger integrationsvariabeln, som anger att beräkningen sker med avseende på förändring i $x$x -led
Satsen säger alltså arean mellan kurvan och $x$x-axeln kan beskrivas med integralen $\int_a^bf\left(x\right)dx$∫abƒ (x)dx och beräknas med differensen $F\left(b\right)-F\left(a\right)$F(b)−F(a) där $F\left(x\right)$F(x) är en primitiv funktion till $f\left(x\right)$ƒ (x). Vi går igenom metoden steg för steg.
Notera att det är nödvändigt att kunna bestämma en primitiv funktion till integranden för att kunna beräkna integralens värde algebraiskt. Om du behöver repetera hur man gör det så gå till lektionen Primitiva funktioner.
Integraler med algebraisk metod
- Bestäm övre och undre integrationsgränsen
- Ta fram en primitiv funktion till integranden
- Teckna integralen du ska beräkna
- Börja beräkna integralen genom fylla i integralkalkylens fundamentalsats med dina värden
- Beräkna $F\left(b\right)-F\left(a\right)$F(b)−F(a), där $F\left(b\right)$F(b) motsvarar den primitiva funktionens värde för den över gränsen $b$b och $F\left(a\right)$F(a) den primitiva funktionens värde för den under gränsen $a$a
- Ange ditt svar med efterfrågad enhet
Genom att upprepa dessa steg kan vi nu beräkna integralens värde algebraiskt.
Vi vill redan här påpeka att beräkningar med areor under $x$x-axeln ger ett negativt bidrag. Vi kommer att fördjupa det i lektionen om Areor mellan kurvor.
Dessutom vill vi att du ska notera att integraler aldrig anges med någon enhet. Däremot kan man med integraler göra beräkningar som representerar värden på storheter. Det kommer vi ge exempel på i lektionen Tillämning av integraler E-uppgifter och C-A uppgifter.
Testa själv
Dra i övre och undre integrationsgränserna och se vilket värde som integralen får.
Exempel på beräkning av integral med algebraisk metod
Här följer nu några exempel på hur man beräkna integralen algebraiskt.
Exempel 1
Beräkna integralen $ \int\limits_0^1 (2x + 1) dx $
Lösning
Eftersom att en primitiv funktion till $f\left(x\right)=2x+1$ƒ (x)=2x+1 är $F(x)=x^2+x$F(x)=x2+x
får vi enligt integralkalkylens fundamentalsats att
$ \int\limits_0^1 (2x + 1) dx =$ $\left[x^2+x\right]_{_0}^{^1}=F\left(1\right)-F\left(0\right)$[x2+x]01=F(1)−F(0)
Genom att beräkna $F\left(1\right)-F\left(0\right)$F(1)−F(0) får vi värdet på integralen. Du sätter alltså in den undre gränsen i den primitiva funktionen $F\left(x\right)$F(x), sedan den övre och subtraherar värdena med varandra.
$F\left(1\right)-F\left(0\right)=\left(1^2+1\right)-\left(0^2+0\right)=1+1-0-0=2$F(1)−F(0)=(12+1)−(02+0)=1+1−0−0=2
Integralens värde är $2$2.
Vi kan tolka svaret som vi får fram, som arean mellan kurvan till $f\left(x\right)=2x+1$ƒ (x)=2x+1 och $x$x– axeln i intervallet $x=0$x=0 till $x=1$x=1 .
Exempel 2
Beräkna integralen $ \int\limits_1^3$ $(2x)\text{ }dx$(2x) dx
Lösning
Eftersom att en primitiv funktion till $f\left(x\right)=2x$ƒ (x)=2x är $F(x)=x^2$F(x)=x2
får vi enligt integralkalkylens fundamentalsats att
$ \int\limits_1^3$ $(2x)\text{ }dx$(2x) dx = $\left[\text{ }x^2\text{ }\right]_{_1}^{^3}=$[ x2 ]13= $3^2-1^2=9-1=8$32−12=9−1=8
Vanligt fel vid Integralberäkning
Då Integralkalkylens fundamentalsats säger att integralens värde motsvarar differensen $F\left(b\right)-F\left(a\right)$F(b)−F(a), är det vanligt att man råkar glömma byta tecken i samband med att man förenklar uttrycket. För att undvika det är det ofta säkrast att först beräkna var parentes värde föra tt sedan utföra differensen. Men vill man inte det måste man vara noggrann och hålla tungan rätt i mun.
Räknereglerna säger att alla tecken i en parentes byts när man tar bort den, OM man har en minustecken precis i anslutning till parentesen.
Då $a,\text{ }b$a, b och $c$c är konstanter får vi att
$-\left(a+b+c\right)=-a-b-c$−(a+b+c)=−a−b−c
$-\left(-a-b-c\right)=a+b+c$−(−a−b−c)=a+b+c
Då man ska subtrahera $F\left(a\right)$F(a) kan det därför underlätta att först skriva uttrycket som ges av funktionen inom parentes. Detta för att inte missa att byta tecken på alla termer när parentesen tas bort.
Exempel 3
Förenkla uttrycket $F\left(3\right)-F\left(1\right)$F(3)−F(1) då $F\left(x\right)=5x+4$F(x)=5x+4
Lösning
Vi skriver de två uttryck som motsvarar respektive term inom en varsin parentes för att undvika att få fel tecken på termerna.
$F\left(3\right)-F\left(1\right)=\left(5\cdot3+4\right)-\left(5\cdot1+4\right)=\left(15+4\right)-\left(5+4\right)=$F(3)−F(1)=(5·3+4)−(5·1+4)=(15+4)−(5+4)= $15+4-5-4=10$15+4−5−4=10
Exempel 4
Förenkla uttrycket $F\left(2\right)-F\left(0\right)$F(2)−F(0) då $F\left(x\right)=e^{2x}-4$F(x)=e2x−4
Svara exakt.
Lösning
Vi skriver de två uttryck som motsvarar respektive term inom en varsin parentes för att undvika att få fel tecken på termerna. Tänk på att $e^0=1$e0=1.
$F\left(2\right)-F\left(0\right)=\left(e^{2\cdot2}-4\right)-\left(e^{2\cdot0}-4\right)=$F(2)−F(0)=(e2·2−4)−(e2·0−4)= $\left(e^4-4\right)-\left(1-4\right)=e^4-4-1+4=e^4-1$(e4−4)−(1−4)=e4−4−1+4=e4−1
Eftersom att $e^4$e4 inte ger ett exakt värde, låter vi det finnas kvar i svaret.
Exempel i videon
- Beräkna $\int_1^32x\text{ }dx$∫132x dx
- Beräkna $\int_0^1x+x^2\text{ }dx$∫01x+x2 dx
- Beräkna arean mellan x–axeln och kurvan till funktionen $f\left(x\right)=-x^2+4$ƒ (x)=−x2+4
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (13)
-
1. Premium
a) Rita i ett koordinatsystem arean som motsvarar integralen $ \int\limits_0^3$ $(2x)\text{ }dx$(2x) dx och beräkna arean.
b) Bestäm den primitiva funktionen till $f\left(x\right)=2x$ƒ (x)=2x som uppfyller villkoret $F\left(0\right)=0$F(0)=0.
c) Beräkna differensen $F\left(3\right)-F\left(0\right)$F(3)−F(0)
d) Beräkna integralen $ \int\limits_0^3$ $(2x)\text{ }dx$(2x) dx med integralkalkylens fundamental sats och jämför med arenan i a)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: integraler Primitiva FunktionerRättar... -
-
2. Premium
Förenkla uttrycket $F\left(3\right)-F\left(-1\right)$F(3)−F(−1) så långt som möjligt då $F\left(x\right)=x^2-2x+3$F(x)=x2−2x+3
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra differens förenkla uttryck Primitiv funktionRättar... -
-
3. Premium
Bestäm värdet på $a$a genom att studera beräkningen av integralen här nedan.
$\int \limits_a^5$ $\text{ }e^x\text{ }dx=[e^x]^{^5}_{_a}=e^5-e^2\approx141$ ex dx=[ex]5a=e5−e2≈141
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Integralkalkylens fundamentalsatsRättar... -
-
4. Premium
Beräkna $\int \limits_0^6$ $x^2dx$x2dx
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: definition integraler integralkalkylens fundamentalsats Primitiv funktionRättar... -
-
5. Premium
Beräkna integralen $ \int\limits_0^1$ $f\left(x\right)\text{ }dx$ƒ (x) dx då $f(x)=x-x^2$ƒ (x)=x−x2
Ange ett exakt svar.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: integraler Primitiva FunktionerRättar... -
-
6. Premium
Beräkna $ \int\limits_0^1 3x^2 dx $
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
7. Premium
Beräkna $ \int\limits_{-1}^1 x^2 dx $
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Integraler – Räkna med dem Matematik 3 Primitiva funktioner och integralerRättar... -
-
8. Premium
Beräkna integralen $\int \limits_0^1$$\left(e^{2x}+1\right)dx$(e2x+1)dx
Ange svaret med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Integral integrationskalkylens fundamentalsats integreraRättar... -
-
9. Premium
I figuren är grafen till funktionen $f(x)=3x-x^2$ƒ (x)=3x−x2 utritad. Beräkna arean av det blåmarkerade området.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
10. Premium
Figuren visar grafen till funktionen $y=4-x^2$y=4−x2 . Bestäm arean $A$A av det skuggade området med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: integraler Integraler – Räkna med dem Matematik 3 Primitiva funktioner och integralerRättar... -
-
11. Premium
Beräkna arean som uppstår mellan $x$x -axeln och grafen till funktionen $f(x)=5+4x-x^2$ƒ (x)=5+4x−x2 i intervallet $0$0 till $5$5.
Avrunda till heltal.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Tillämpning Integraler- E-uppgifterLiknande uppgifter: integraler Matematik 3 Matematik 4 Primitiva funktioner och integraler Problemlösning IntegralerRättar... -
-
12. Premium
Beräkna $\int \limits_2^e$ $3^xdx$3xdx
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Beräkna IntegralerRättar... -
13. Premium
Beräkna integralen $\int \limits_0^1$$\left(e^{4x}+2x\right)dx$(e4x+2x)dx
Ange svaret med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Integral integrationskalkylens fundamentalsats integreraRättar... -
c-uppgifter (6)
-
14. Premium
Beräkna integralen $ \int\limits_2^4$ $\left(\sqrt{4x}\right)\text{ }dx$(√4x) dx
Svara med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
15. Premium
Beräkna $\int \limits_1^4$$\frac{x^2}{\sqrt{4x}}$x2√4x $dx$dx . Förenkla så långt så möjligt och svara exakt.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Beräkna IntegralerRättar... -
-
16. Premium
Bestäm konstanten $a$a så att $\int_1^3\left(3x^2+a\right)dx=34$∫13(3x2+a)dx=34
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Integraler – Räkna med dem Matematik 3 Primitiva funktioner och integralerRättar... -
-
17. Premium
Beräkna $\int \limits_{\ln 4}^{\ln 6}$$\left(e^{2x}\text{ }\right)dx$(e2x )dx
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: beräkna integraler Integral integralkalkylens fundamentalsats Primitiv funktionRättar... -
-
18. Premium
Beräkna $\int \limits_a^b$ $\frac{\sqrt{2}}{2x^2}$√22x2 $dx$dx där $a=$a=$\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2 och $b=2$b=2.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Beräkna IntegralerRättar... -
19. Premium
Bestäm konstanten $n$n så att $\int \limits_0^n$$\left(2x+4\right)dx=5$(2x+4)dx=5 då $0<$0< $n<6$n<6
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: integraler Integraler – Räkna med dem Matematik 3 Primitiva funktioner och integralerRättar... -
a-uppgifter (2)
-
20. Premium
Figuren visar grafen till funktionen $f$ƒ i intervallet $-2\le x\le15$−2≤x≤15
För vilket värde på $p$p antar $\int_{_p}^{^{^{p+2}}}$∫pp+2 sitt största värde?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Beräkna integralerLiknande uppgifter: integralerRättar... -
-
21. Premium
Bestäm konstanten $a$a så att $\int \limits_0^9$$f\left(x\right)dx=2\cdot f\left(a\right)$ƒ (x)dx=2·ƒ (a) då $f\left(x\right)=$ƒ (x)=$\sqrt{\frac{4}{x}}$√4x
Ange exakt svar.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: integraler Integraler – Räkna med dem Matematik 3 Primitiva funktioner och integralerRättar... -
Rana Mozan
Hej! uppgift 14 ska det inte den primitiva funktionen vara (4x^1,5)/1,5 istället för delat på 3
Gustav Nilsson
I uppgift 14 så skrivs f(x) om till 2x^0,5. Sen blir det primitiva talet enligt förklaringen 4x^1,5/3? Hur kan det bli det? Vart kommer 3an ifrån och 4x. Regeln säger ju f(x)= x^n,
F(x)=x^n+1/n+1. Borde det inte bli 2x^1,5/1,5? Om man deriverar det får man ju 2x^0,5.
Armend
Glömde inkludera uppgiftsnr i min förra kommentar, det är i uppgift 15
Armend
Det har blivit något fel med förklaringen i det sista steget, roten ur 4 är 2
Odai Shaar
Kan ge mer förklaring på uppgift nummer 14. Förstår inte riktigt hur man ta fram primitiva funktionen då vi har en rot tecken
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Titta på Lektionen om Primitiva funktioner så hoppas jag du hittar ett svar.
Annai Garcia Santisteban
Hej, varför tas inte en konstant med i primitiva funktion när man räknar med integralkalkylens fundamentalsats?
Simon Rybrand (Moderator)
Det beror på att man subtraherar F(a) – F(b)
Dvs du kommer alltid att ha C-C = 0
adrian reimers
Hej!
I uppgift 13, hur ”tar jag fram funktionen” för konstanten a? Var i uppgiften får du informationen att f(a)=(√4/a) ? 🙂
Simon Rybrand (Moderator)
Då $f(x)=\sqrt{\frac{4}{x}}$ så byter vi ut x mot a där och får $f(a)=\sqrt{\frac{4}{a}}$
Wayde Brown
hej. Uppgift 13. Jag tror att ni har missat att ta med 2an från ekvationen:
∫f(x)dx=2⋅f(a)
när ni skulle bestämma a med:
12=√4a
det borde stå:
12=2⋅√4a
och svaret blir då a=1/9
eller har jag missat något?
Anna Admin (Moderator)
Tack, Wayde, för din hjälp med att uppmärksamma oss på detta. Uppgiften är nu korrigerad!
Madelein Vidrik
Hej.
I uppgift 1 (på provet) står följande F(3)-F(-2) osv.
I förklarningen skriva F(3)-F(-3) och dess uträkning. =(3^3-2*3+3)-((-1)^3-2*(-1)+3).
Är det -2 som är den under integralhränsen eller -3 eller -1?
Eller hur löser man uppgiften?
Simon Rybrand (Moderator)
Tack för att du sade till! Det var fel där, det är korrigerat!
Rasmus Mononen
Hej!
I uppgift 8 söks konstanten ”a”, men i svaret anges och bestäms ”n”. Är frågan lite skumt ställd?
// Rasmus
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det är förstås n som söks där, vi formulerar om det.
Daniel yazdi
Hej!
hur ska man tillämpa potensregeln när man ska få reda på F av 1/5x^1/2,det är 5an som strular till det för mig…
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Om du har
$f= \frac{1}{5x^{1/2}}=\frac15x^{-1/2}$
Så får du den primitiva funktionen genom
$F=\frac25x^{1/2}=\frac{2\sqrt{x}}{5}$
Sebastian Gren
Hej.
Hur beräknar jag
2 över och 1 under ∫ x^3/4 dx
Simon Rybrand (Moderator)
Du använder integralkalkylens fundamentalsats och får
$\int\limits_{1}^{2}\,\frac{x^3}{4}\,dx=\left[ \frac{x^4}{16} \right]_1^2 =$
$\left( \frac{2^4}{16} \right)- \left( \frac{1^4}{16} \right)=\frac{16}{16}-\frac{1}{16}=$
$1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$
Yosefd
Tackar !
Yosefd
varför är e upphöjt till 4 56.1 hur vet man det? e är ju en variabel.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Nej talet $ e ≈ 2,71828 $ är faktiskt inte en variabel utan det är ett tal som tex $ \pi ≈ 3,14159 $.
Se gärna mer om talet e här.
Joakim Meier
Hej, tack för bra undervisning.
Är dx = delta x? kan inte minnas att du sagt det, kanske är underförstått.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Ja det kan vi nog kalla det men att vi låter delta x gå mot noll, då brukar det oftast kallas för dx.
D.Dellkordo
Hej jag har problem med Primitiva Funktionen 1/x, jag köper att man behöver känna till att räkna med ln… men vad händer om det är 2/x? alltså vad är primitiva funktionen för 2/x ?
tack för att Ni svarar
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det blir en liknande primitiv funktion som $\frac1x$ som har den primitiva funktionen $lnx$. Du får då istället $2lnx$
randsara
Hej
jag har svårt med att beräkna integraler, skulle du kunna hjälpa mig med att integrera ∫(1)^(2) f(x) dx
tack
randsara
det jag gjorde är
(lnx)1 till 2 = ln2-ln1= 0,7
är det rätt ?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Du har skrivit integralen
$ \int \limits 1^2 f(x) dx $
och det jag funderar på är vilken funktion $f(x)$ som du har?
sara94
uppgiften säger : Skissa funktionen f(x)=1/x och beräkna sedan grafiskt integral tecken (1 är under integral tecknet och 2 ovan på integral tecknet) f(x)dx. Markera i din figur vad det är du räknat ut med integralen.
Jag har skissat funktionen f(x)=1/x det blev två kurvor, men sen jag vet inte hur jag ska gå vidare
Simon Rybrand (Moderator)
Ok, då förstår jag. Här får du
$\int \limits_1^2 \frac1x dx = $ $ \left[ ln x\right]_1^2 = $ $ ln2 – ln1 ≈ $ $0,693$
Stigenhed
Hej! Den funktionen 1/x går väl skriva om till 1*x^-1 ?
I så fall blir väl den primitiva funktionen lika med x?
Med tanke på x^-1+1/1 ?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, den primitiva funktionen här är lite speciell då den blir $ lnx $. Tänk på att du skall addera exponenten med 1 och att du då skulle få $x^0$ vilket är lika med 1. Siffran ett har ju derivatan 0 så i detta fall fungerar inte deriveringsreglerna/regler för primitiva funktioner som du använder. Du behöver alltså känna till att den primitiva funktionen är $lnx$
Dandono
Hej Simon!
Jag har fastnat på denna fråga, räkna integralen exakt:
(1/x – 1/x^2)dx med gränserna 2 till 1, får svaret ln2-1,5 men det verkar inte stämma med facit :/
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, du skall alltså beräkna
$ \int\limits_1^2 (1/x – 1/x^2) dx = $
$ \left[ lnx + 1/x \right]_1^2 = (ln2+1/2) – (ln1+1)=$
$ ln2+1/2-0-1=ln2-1/2 $
Här kan det vara lite lurigt att få helt korrekt primitiv funktion så kolla gärna lite extra på detta.
Thomas
Simon:
Jag är helt ny på det här med integralräkning, men ska det inte stå x^2 på uppgift 1?
1 1
∫x^2dx = [x^2] = 1^2 – (-1)^2 = 2?
-1 -1
eller tänker jag fel?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det gäller att ta rätt primitiv funktion där.
Den primitiva funktionen för $ x^2 $ är nämligen $\frac{x^3}{3}$. Du kan alltid kontrollera att detta stämmer genom att derivera uttrycket och se att du får just derivatan $ x^2 $.
Martina
Det står att jag svarade fel på uppg. 1. Det kan inte stämma, för det står ingenting om att det ska vara (-1) Om det inte står något antar jag att det är 0 som jag ska sätta in.
Jag gjorde också uträkningen på räknaren och det blev 1/3 inte 2/3.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, den undre gränsen i den uppgiften är -1 och den övre är 1 så du kommer att få svaret 2/3. Syns inte -1:an när du kikar på uppgiften?
Leila
Tack Simon!
Leila
Hej!
I ex. två , hur vet man mängden på e^2 ?
Simon Rybrand (Moderator)
Det är nog enklast att använda din räknares ”knapp” för talet e ≈ 2,718281828459045 för att få fram ett ungefärligt värde.
danielakavander
hur räknar man arean mellan två kurvor?
Jag har en uppgift där jag ska räkna arean mellan y=6-x^2 och y=x^2-2x+2 och har ingen aning om hur detta ska räknas ut. :/
Simon Rybrand (Moderator)
För att beräkna areor mellan kurvor så beräknar man integralen för den övre kurvan subtraherat med den undre (rita gärna ut integralerna så du ser detta tydligt).
Så i det här fallet beräknar du:
$ \int\limits_a^b (6-x^2) – (x^2-2x+2) dx $
För att bestämma skärningspunkterna (dvs a och b) så löser du ekvationen
$ 6-x^2 = x^2-2x+2 $
BotenAnnie
hur vet man när man ska ha räknaren inställd på radianer och inte ?
Simon Rybrand (Moderator)
Hejsan,
Jag har skrivit om detta på vår blogg, du hittar inlägget om radianer här.
katla
Är inte sin pi/2=0.027? eller slår jag fel på min miniräknare
Simon Rybrand (Moderator)
Hej! Om du ställer in din räknare på radianer så kommer du att få 1, om den är inställt på grader så får du 0,027. Kolla gärna dina inställningar på detta och fråga mer om du har några frågor om detta.
Endast Premium-användare kan kommentera.