Derivera logaritmfunktioner

Vi har sedan tidigare sett att exponentialfunktionen $y=e^x$y=e^x har den unika egenskapen att derivatan är lika med funktionen själv. Eftersom logaritmfunktionen $\ln x$lnx är inversen till $e^x$e^x kan vi använda den kopplingen för att härleda deriveringsregeln för $\ln x$lnx.

Notera att logaritmfunktionen bara är definierad för $x>0$x>0, vilket innebär att derivatan alltid är positiv och att funktionen är strängt växande i hela sin definitionsmängd.

Precis som vid derivering av polynomfunktioner deriverar vi alltid ett uttryck term för term. Om funktionen innehåller en logaritmterm kombinerad med en potens- eller exponentialterm deriverar vi därför varje term för sig.

När argumentet i logaritmfunktionen inte bara är $x$x utan ett helt uttryck, till exempel $\ln(x^2+1)$ln(x²+1), har vi att göra med en sammansatt funktion som kräver kedjeregeln. I sådana fall har vi att göra med en sammansatt funktion som kräver kedjeregeln, där den yttre funktionen är $\ln\left(\cdot\right)$ln(·) och den inre funktionen är argumentet.

Derivatan av en funktion kan skrivas på flera olika sätt. På gymnasiet använder vi primnotation, men inom högskolan och fysiken förekommer även andra beteckningar. Det är bra att känna till dem så att du inte blir förvånad om du möter dem.

Eftersom $\ln x$lnx bara är definierad för $x>0$x>0 måste vi alltid kontrollera definitionsmängden innan vi deriverar. Detta innebär att $f(x)=\ln(g(x))$ƒ (x)=ln(g(x)) endast är definierad där $g(x)>0$g(x)>0.

Derivatan $\frac{g´(x)}{g(x)}$g´(x)g(x) är positiv där $g´(x)>0$g´(x)>0 och negativ där $g´(x)<0$g´(x)<0, vilket ger information om var den sammansatta logaritmfunktionen är växande respektive avtagande.

• Derivera $f(x)=2\ln x$ƒ (x)=2lnx.
• Derivera $f(x)=3x^2-\ln x$ƒ (x)=3x²−lnx.
• Derivera $f(x)=\ln(2x^2-5x)$ƒ (x)=ln(2x²−5x) och bestäm definitionsmängden.
• Bestäm tangenten till grafen för $f(x)=\ln x$ƒ (x)=lnx i punkten $x=2$x=2.