Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Kedjeregeln används för att derivera sammansatta funktioner.
Funktioner som är en sammanslagning av flera olika funktioner kallas sammansatta. Dessa funktioner delar man upp i en yttre och inre funktion.
Exempelvis är y=sin2xy=sin2x , f(x)=cos3xƒ (x)=cos3x och f(x)=(2x+1)2ƒ (x)=(2x+1)2 sammansatta funktioner.
Sammansatta funktioner
Funktionen y=f(g(x)) är en sammansatt funktion där f(g(x)) är den yttre funktionen och g(x) är den inre funktionen.
Det vi framförallt fokuserar på i den här lektionen är att du lär dig känna igen en sammansatt funktion och vad som är den inre och den yttre funktionen. När du väl kan det blir det möjligt att att derivera de sammansatta funktionerna med vi kallar kedjeregeln.
Exempel 1
Ange den sammansatta funktionen f(g(x))ƒ (g(x)) då
a) g(x)=x3+2xg(x)=x3+2x och f(x)=x4ƒ (x)=x4
a) g(x)=2x+πg(x)=2x+π och f(x)=3sinxƒ (x)=3sinx
Lösning
Vi får den sammansatta funktionen f(g(x))ƒ (g(x)) genom att ersätta xx:et i f(x)ƒ (x) med
a) funktionsuttrycket för gg, nämligen x3+2xx3+2x. Vi får
f(g(x))=(x3+2x)4ƒ (g(x))=(x3+2x)4
b) funktionsuttrycket för gg, nämligen 2x+π2x+π. Vi får
f(g(x))=3sin(2x+π)ƒ (g(x))=3sin(2x+π)
Både funktionen fƒ och gg är beroende av hur xx-värdet förändras. Vi får här därför lite som en kedjereaktion, först ges värdet i funktionen gg som i sin tur påverkar funktionsvärdet i fƒ .
Kedjeregeln
En sammansatt funktion deriveras med hjälp av kedjeregeln. Den säger att du får derivatan genom att multiplicera den yttre derivatan med den inre derivatan.
Vi fördjupar din förståelse av sammansatta funktioner och hur du kan se vad som är den inre och yttre funktionen med ett antal exempel längre ned i texten.
Kedjeregeln
En sammansatt funktion y=f(g(x))y=ƒ (g(x)) har derivatan
y′=f′(g(x))⋅g′(x)y´=ƒ ´(g(x))·g´(x)
där den yttre funktionen är fƒ och den inre funktionen är gg.
Med ord kan vi säga att
Kedjeregeln ger att derivatan är lika med
den yttre funktionens derivata multiplicerat med den inre funktionens derivata
Utmaningen är ofta att avkoda vad som är den yttre och den inre funktionen. Enda sättet att bli bra på det är att öva. Vi tittar därför direkt på några exempel.
Exempel 1
Derivera y=(2x+1)2y=(2x+1)2
Lösning
Vi markera den inre funktionen med grönt och den yttre med rött.
y=(2x+1)2y=(2x+1)2.
Med hänvisning till kedjeregeln säger vi att inre funktionen är g(x)=2x+1g(x)=2x+1
Den yttre funktionen motsvarar upphöjt till två, f(g(x))=g(x)2ƒ (g(x))=g(x)2
Vi deriverar dem var för sig. Först inre.
g(x)=2x+1g(x)=3x ⇒⇒ g′(x)=2g’(x)=3
Sen yttre.
f(x)=(g(x))2ƒ (x)=cos(g(x)) ⇒⇒ f′(x)=2⋅g(x)=2⋅(2x+1)ƒ ’(x)=−sin(g(x))
Enligt kedjeregeln är derivatan
y′=f′(g(x))⋅g′(x)y´=ƒ ´(g(x))·g´(x)
Vi sätter in derivatorna vi räknade fram i formeln och förenklar
y’=2(2x+1)⋅2=8x+4y’=(−sin3x)·3=−3sin3x
Vi kan dubbelkolla att kejderegeln stämmer genom att först utveckla uttrycket med kvadreringsregeln och sedan derivera.
y=(2x+1)2=4x2+4x+1y=(2x+1)2=4x2+4x+1 vilket ger derivata
y′=8x+4y´=8x+4
Kedjeregeln fungerar!
Exempel 2
Derivera y=cos3xy=cos3x
Lösning
Vi markera den inre funktionen med grönt och den yttre med rött.
y=cos3xy=cos3x
Med hänvisning till kedjeregeln säger vi att inre funktionen är g(x)=3xg(x)=3x
och den yttre cosinusfunktionen f(x)=cos(g(x))ƒ (x)=cos(g(x))
Vi deriverar dem var för sig. Först inre.
g(x)=3xg(x)=3x ⇒⇒ g′(x)=3g´(x)=3
Sen yttre.
f(g(x))=cos(g(x))ƒ (g(x))=cos(g(x)) ⇒⇒ f′(g(x))=−sin(g(x))ƒ ´(g(x))=−sin(g(x))
Enligt kedjeregeln är derivatan
y′=f′(g(x))⋅g′(x)y´=ƒ ´(g(x))·g´(x)
Vi sätter in derivatorna vi räknade fram i formeln och förenklar
y’=−sin(3x)⋅3=−3sin3xy’=−sin(3x)·3=−3sin3x
Exempel 3
Derivera y=x3y=√x3
Lösning
Vi markera den inre funktionen med grönt och den yttre med rött.
y=x3y=√x3
Med hänvisning till kedjeregeln säger vi att inre funktionen är g(x)=x3g(x)=x3
och den yttre rotfunktionen f(g(x))=g(x)ƒ (g(x))=√g(x)
Vi deriverar dem var för sig. Först inre.
g(x)=x3g(x)=x3 ⇒⇒ g′(x)=3x2g´(x)=3x2
Sen yttre.
f(g(x))=g(x)ƒ (g(x))=√g(x) ⇒⇒ f′(g(x))=ƒ ´(g(x))=2g(x)112√g(x)
Enligt kedjeregeln är derivatan
y′=f′(g(x))⋅g′(x)y´=ƒ ´(g(x))·g´(x)
Vi sätter in derivatorna vi räknade fram i formeln och förenklar
y’=y’= 2x31⋅12√x3 · 3x2=3x2= 23x3√x2
Förenklingen av derivatan i fler steg ser ut så här.
y’=y’=2x33x2=2(x3)213x2=3x22√x3 =3x22(x3)12 =2x3⋅213x2=2x233x2=3x22x3·12 =3x22x32 =23x2−23=23x21=3x2−32 2 =3x12 2 =23x3√x2
Återvänd till potensreglerna om detta är oklart.
Andra sätt att beteckna kedjeregeln
Det finns även andra sätt att beskriva kedjeregel. Ett exempel på ett sådant sätt nämns nedan. Detta sätt blir extra användbart vid tillämpningar där vi har fler variabler eller vet derivatans värde med avseende på en annan variabeln än den i uppgiften angivna.
dxdy=dzdy⋅dxdzdydx =dydz ·dzdx
Detta utläser du som ”dy dx är lika med dy dg multiplicerat med dg dx”. Du lär dig mer om detta i lektionen om tillämpningar med kedjeregeln.
Exempel i videon
- Bestäm derivatan av f(x)=sin2x med kedjeregeln
- Derivera f(x)=sin(2x2+3x)
- f(x)=sin2(3x)
Kommentarer
e-uppgifter (12)
1.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Ange den sammansatta funktionen f(g(x))ƒ (g(x)) då g(x)=x2+4g(x)=x2+4 och f(x)=exƒ (x)=ex
Svar:Ditt svar:Rätt svar: f(g(x))=ex2+4(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Ange den sammansatta funktionen f(g(x))ƒ (g(x)) då g(x)=cos3xg(x)=cos3x och f(x)=x5ƒ (x)=x5
Svar:Ditt svar:Rätt svar: f(g(x))=(cos3x)5(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(2/0/0)E C A B P 2 PL M R K Bestäm derivatan av f(x)=(3x+2)3ƒ (x)=(3x+2)3
Svar:Ditt svar:Rätt svar: f′(x)=9(3x+2)2(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Ange alternativet som motsvarar derivatan av y=sin3xy=sin3x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Förkunskap: Derivera sin x och cos xRättar...5. Premium
(2/0/0)E C A B P 2 PL M R K Derivera y=(x)3y=(√x)3 med
a) kedjeregeln
b) genom att först skriva om uttrycket i potensform
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Förkunskap: Potenser med rationella exponenterRättar...6. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K För funktionen fƒ gäller att f(x)=3sin7x+2ƒ (x)=3sin7x+2.
Bestäm f’(x)ƒ ’(x).
Svar:Ditt svar:Rätt svar: f′(x)=21cos7x(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Förkunskap: Derivera sin x och cos xRättar...7. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Derivera y=(x2+3)5y=(x2+3)5
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...8. Premium
(2/0/0)E C A B P 2 PL M R K Bestäm derivatan av f(x)=4cos(10x+2)ƒ (x)=4cos(10x+2)
Svar:Ditt svar:Rätt svar: f′(x)=−40sin(10x+2)(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...9. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Bestäm derivatan av y=sin2xy=sin2x
Svar:Ditt svar:Rätt svar: y′=2sinxcosx(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: DeriveringsreglerRättar...10. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Bestäm y′′y´´ då y=−2 sin3xy=−2 sin3x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Förkunskap: AndraderivataRättar...11. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Derivera y=ln(2x5−7)y=ln(2x5−7)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...12. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Derivera y=sin3xy=sin3x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Förkunskap: Derivera sin x och cos xRättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (5)
13. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Derivera y=e2cosxy=e2cosx
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...14. Premium
(0/2/0)E C A B P 2 PL M R K Bestäm f′(1)ƒ ’(1) om f(x)=ƒ (x)= 3x2+1113x2+1
Svar:Ditt svar:Rätt svar: −83(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...15. Premium
(0/2/0)E C A B P 2 PL M R K Bestäm f′(1)ƒ ’(1) om f(x)=ƒ (x)= 3x+688√3x+6
Svar:Ditt svar:Rätt svar: −94(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...16. Premium
(0/2/0)E C A B P 2 PL M R K Derivera y=exy=e√x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Förkunskap: Potenser med rationella exponenterRättar...17. Premium
(0/3/0)M NPE C A B P PL 3 M R K Grafen till f(x)=(2x−3)5ƒ (x)=(2x−3)5 har en tangent i den punkt där f(x)=1ƒ (x)=1 . Bestäm tangentens ekvation.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: y=10x−19(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Förkunskap: Tangentens ekvation och lutningRättar...
a-uppgifter (4)
18. Premium
(0/0/2)E C A B P PL 1 M R 1 K Ange det största möjliga värdet för tangentens lutning på kurvan y=Acoskx+By=Acoskx+B då k>0k>0 .
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Ak(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...19. Premium
(0/1/1)E C A B P 1 1 PL M R K Derivera f(x)=ƒ (x)=2x3−e2x11√2x3−e2x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...20. Premium
(0/0/2)E C A B P 2 PL M R K Derivera f(x)=sin4(x3−5x2)ƒ (x)=sin4(x3−5x2)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Förkunskap: Derivera sin x och cos xRättar...21. Premium
(0/0/1)M NPE C A B P PL 1 M R K Ange en funktion fƒ som har derivatan f’(x)=24x(x2+1)5ƒ ’(x)=24x(x2+1)5.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: T ex f(x)=2(x2+1)6(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Förkunskap: Primitiva FunktionerRättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Björn Follin
På fråga 9 står det i förklaringen att den yttre derivatan är -1/x^3/2. Är den inte -1/2x^3/2? Jag antar att ni bara har skrivit fel, annars hänger jag verkligen inte med…
Simon Rybrand (Moderator)
Den yttre derivatan där skall stämma. Kolla gärna mer på hur potensfunktioner deriveras.
elisabeth karlsson
Hej
Uppgift 7 och det korrekta svaret ska ha e^2x. Tvåan har fallit bort, likaså i förklaringen i sista ledet.
Simon Rybrand (Moderator)
Vi fixar det direkt!
Tack för att du sade till!
Linnéa Jansson
I det sista exemplet i den här genomgången skriver du 2sin3x*cos(3x) * 3
och sen 6sin3x*cox(3x).
Finns det en anledningen till att ni skriver cos(3x) med parenteser och sin3x utan parenteser?
och sen förstår jag inte varför den inre derivatan blir cos(3x) * 3 och inte 3cos(3x). Hade jag fått det där exemplet på ett prov hade jag nog skrivit
2sin3x*3cos3x som svar, istället för att multiplicera trean med tvåan framför sin3x.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det finns ingen anledning att inte vara konsekvent där egentligen, skulle nog rekommendera att alltid använda parentes runt argumentet, dvs 3x i det här fallet.
Eftersom att cos(3x)⋅3=3cos(3x) och vi skall göra ett steg till i förenklingen av det deriverade uttrycket så spelar det inte så stor roll hur det ser ut just där. Om det istället hade varit vårat svar så håller jag med dig om att 3cos(3x) ser snyggare ut.
Jafar Fathullah
Jag vill jättegärna förklaring till bevis av kedjeregelen.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Just nu har vi ingen sådan. Vi kan kika på om vi kanske kan utöka med detta framåt i en video.
Evelyn
Hej!
Dessa videor hjälper mig enorm med matte D just nu. Det är bara en sak jag inte förstår i denna video. Vid exempel 1 så deriverar du den inre funktionen till 4x+3. Varför behåller du sen den icke-deriverade formen när du deriverar den yttre funktionen? Ska det inte vara samma svar, eller tänker jag knas?
MvH Evelyn
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, anledningen att jag behåller den inre funktionen är för att vi bara skall derivera den yttre, dvs att derivatan av sin u är cos u.
Ferhat0117
Hejsan!
Jag har en uppgift som jag inte riktigt förstår. Uppgiften lyder såhär:
Funktionen f(x) = 5e^2x är given. Beräkna närmevärde med tre decimaler till f'(3) genom
a) att först bestämma f'(x)
b) att använda approximationen f'(3) = f(3+h)-f(3-h)/zh för h=1.
Uppgift a är ju rätt så enkelt. Det är bara att derivera själva uppgiften och sedan ändra x till 3 konstigt nog så får jag fel svar, eller är det jag som gör fel?
Med vänliga hälsningar, Ferhat!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Ferhat,
Det man gör när man approximerar derivata är att man sätter h till ett litet tal tex 0,001 eller som i ditt fall där du skall sätta det till h = 1 är att man använder derivatans definition för att ta fram derivatan istället för med deriveringsreglerna. Så här behöver du utgå ifrån derivatans definition och beräkna
1f(4)–f(3)
Fråga gärna mer i QnA om något är otydligt eller om jag förstår din fråga felaktigt.
/Simon
Mario
Hejsan, tack så mycket för fin genomgång av matte d.
Läser exponent men tycker faktiskt att boken är för svår, för lite exempel och svårighetsgraden ökar markant.
Bra sida som jag kommer att rekomendera vidare.
mvh Mario
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Mario, vad bra att genomgången hjälpte dig att förstå och använda kedjeregeln som är viktig i Matte D, lycka till med studierna!
Endast Premium-användare kan kommentera.