00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3c
/  Aritmetik, polynom och rationella Uttryck
Rationella uttryck

Multiplicera och dividera rationella uttryck

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Att multiplicera och dividera rationella uttryck

När man multiplicerar och dividerar rationella uttryck, utgår man från samma räkneregler som vid multiplikation och division med bråktal.

Här kommer en kort sammanfattning av dem.

Regler bråkräkning Multiplikation

  ab⋅cd=a⋅cb⋅d\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}ab ·cd =a·cb·d  

Regler bråkräkning Division

 ab\frac{a}{b}ab  /\big/ cd=a⋅db⋅c\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}cd =a·db·c  

Det är alltså dessa regler som även används för att multiplicera och dividera rationella uttryck. Den enda skillnaden är att vår täljare och nämnare är algebraiska uttryck, i stället för konstanter.

Känner du dig osäker på hur du räknar med bråk, så repetera det innan du börjar med detta avsnitt. Ett förtydligande kring divisionen följer längre ner i denna text. Det är även bra att ha goda kunskaper om hur man förenklar algebraiska uttryck.

Nu förenklar vi några rationella uttryck.

Multiplikation av rationella uttryck

Vid multiplikation av rationella uttryck använder du dig av samma räkneregler som för multiplikation med rationella tal, det vi även kallar bråk.

Exempel 1 

Förenkla följande uttryck

  4x2⋅x3\frac{4}{x^2}\cdot\frac{x}{3}4x2 ·x3  

Lösning

Först multipliceras täljarna med varandra och nämnarna med varandra. Det ger oss ett nytt rationellt uttryck.

 4x2⋅x3=4x3x2\frac{4}{x^2}\cdot\frac{x}{3}=\frac{4x}{3x^2}4x2 ·x3 =4x3x2  

Sedan förkortar vi med xxx i täljaren och nämnaren så att uttrycket står på enklaste form.

 4x3x2=43x\frac{4x}{3x^2}=\frac{4}{3x}4x3x2 =43x  

Ormar som hjälp vid division

En del tycker att bilden med ormar som slingrar sig genom bråket, är till hjälp vid division av bråk eller rationella uttryck.

Multiplicera och dividera rationella uttryck

Rent matematiskt förlänger vi bråket med den inverterade nämnaren, för att få nämnaren ett.

Förlänga med den inverterade nämnaren

Exempel 2 

Beräkna  67 12 \frac{\frac{6}{7}}{\text{ }\frac{1}{2}\text{ }}67 12   

Svara i bråkfrom.

Lösning

Talet är en bråkdivision. Vi beräknar den genom att förlänga med den inverterade nämnaren  21\frac{2}{1}21 . 

67 12 =67⋅21 12 ⋅21=67⋅21 22=67⋅21 1=\frac{\frac{6}{7}}{\text{ }\frac{1}{2}\text{ }}=\frac{\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}}{\text{ }\frac{1}{2}\text{ }\cdot\frac{2}{1}}=\frac{\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}}{\text{ }\frac{2}{2}}=\frac{\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}}{\text{ }1}=67 12  =67 ·21 12  ·21  =67 ·21 22  =67 ·21  1 = 67⋅21=127\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}=\frac{12}{7}67 ·21 =127   

Inversen till ett tal är det tal som vid multiplikation ger produkten ett. Vid bråkräkning kommer det alltid motsvara det ”upp-och-nervända” bråket.

Division av rationella uttryck

Vid division av rationella uttryck använder du dig av samma räkneregler som för division med rationella tal, det vi även kallar bråk som vi visade här ovan.

Exempel 3  

Förenkla följande uttryck och ange i enklast form.

 4x6y\frac{4x}{6y}4x6y /\big/ 4x\frac{4}{x}4x 

Lösning

Först multipliceras det första uttryckets täljare med det andra uttryckets nämnare och resultatet placeras i täljaren. Sedan multipliceras det första uttryckets nämnare med det andra uttryckets täljare och resultatet placeras i nämnaren.

 4x6y\frac{4x}{6y}4x6y /\big/ 4x=4x6y⋅x4=4x26⋅4⋅y\frac{4}{x}=\frac{4x}{6y}\cdot\frac{x}{4}=\frac{4x^2}{6\cdot4\cdot y}4x =4x6y ·x4 =4x26·4·y  

Nu förkortar vi koefficienterna för att svara i enklaste form

 x26y\frac{x^2}{6y}x26y  

 Vi tittar nu på ett exempel som är något svårare.

Exempel 3 

Förenkla följande uttryck

 (ab−ba)\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)(ab −ba ) /\big/ a−bab\frac{a-b}{ab}a−bab  

Lösning

Förläng uttrycket i täljaren så att de kan skrivas på gemensam nämnare.

 (ab−ba)=a2ab−b2ab=a2−b2ab\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)=\frac{a^2}{ab}-\frac{b^2}{ab}=\frac{a^2-b^2}{ab}(ab −ba )=a2ab −b2ab =a2−b2ab  

Utför sedan divisionen enligt räkneregler och förkorta uttrycket.

 a2−b2ab\frac{a^2-b^2}{ab}a2−b2ab  /\big/ a−bab=\frac{a-b}{ab}=a−bab = 

 a2−b2ab⋅aba−b=\frac{a^2-b^2}{ab}\cdot\frac{ab}{a-b}=a2−b2ab ·aba−b =  

 (a2−b2)⋅abab⋅(a−b)=\frac{\left(a^2-b^2\right)\cdot ab}{ab\cdot\left(a-b\right)}=(a2−b2)·abab·(a−b) =                      förkorta med ababab 

 a2−b2(a−b)=\frac{a^2-b^2}{\left(a-b\right)}=a2−b2(a−b) =                                skriv om täljaren med konjugatregeln

 (a+b)(a−b)(a−b)=\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)}=(a+b)(a−b)(a−b) =                        förkorta med  a−ba-ba−b 

 (a+b)\left(a+b\right)(a+b)  

Nu är det bara att sätt i gång och träna. Övning ger färdighet.

Exempel i videon

  • Beräkna  67⋅12\frac{6}{7}\cdot\frac{1}{2}67 ·12  
  • Förenkla  x2y3⋅9xy3\frac{x^2y}{3}\cdot\frac{9}{xy^3}x2y3 ·9xy3  
  • Beräkna   67 12\frac{\text{ }\frac{6}{7}\text{ }}{\frac{1}{2}} 67 12   
  • Förenkla x2y3/9xy3 \frac{x^2y}{3} \big/ \frac{9}{xy^3}
  • Förenkla  (a+b)⋅(a+b)\cdot(a+b)· (a−b)2a2−2b2\frac{(a-b)}{2a^2-2b^2}(a−b)2a2−2b2  
  • Förenkla  (z2−2z+1)(z^2-2z+1)(z2−2z+1) /3z−35 \big/ \frac{3z-3}{5}
Nästa lektion: C och A uppgifter på rationella uttryck

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server