Nationellt prov Matematik 3b vt 2015 del B och C

För vilket värde på $x$x är uttrycket $\frac{2x}{x+4}$2xx+4  inte definierat?

Beräkna det exakta värdet av $\int\limits_0^2$ $x^2\text{ }dx$x² dx 

Figuren visar grafen till en funktion som är definierad i ett slutet intervall.

Rita i figuren

a) en tangent som har lutningen $1$1. Märk tangenten med bokstaven $T$T.

b) en sekant som har lutningen $1$1. Märk sekanten med bokstaven $S$S.

Då du gör denna på hemsidan kan du inte rita direkt i figuren. Gör då en skiss av figuren och gör uppgifterna utifrån denna skiss.

Bestäm $f’\left(x\right)$ƒ ’(x) om

a)  $f\left(x\right)=5x^3-8x^2+10$ƒ (x)=5x³−8x²+10 

b)  $f\left(x\right)=$ƒ (x)=  $\frac{3x+e^{-x}}{2}$3x+e^−x2  

c)  $f\left(x\right)=-$ƒ (x)=−$\frac{2}{\sqrt{x}}$2√x   

 $2+6+18+…$2+6+18+… är en geometrisk summa.

a) Bestäm den fjärde termen.

b) Bestäm den $n$n:te termen

Funktionen $f$ƒ  är en diskret funktion. Det gäller att $f\left(x\right)=x^2$ƒ (x)=x² för $x=1,\text{ }2$x=1, 2 och $3$3. Rita grafen till funktionen $f$ƒ  i koordinatsystemet.

Gör du uppgiften digitalt får du rita på separat papper och göra manuell rättning

På tallinjen är punkterna $A-K$A−K markerade.

Bestäm vilken av punkterna $A-K$A−K som motsvarar värdet av

a)  $\ln e^2$lne² 

b)  $e-\ln1$e−ln1 

En gurkodlare har undersökt hur vikten hos en växande gurka ökar med tiden. Hon redovisar resultatet som en funktion $y=V\left(t\right)$y=V(t), där $V\left(t\right)$V(t) är gurkans vikt i hg och $t$t är tiden i veckor efter mätningens början.

Vad får hon veta genom att bestämma $V’\left(3\right)$V’(3)?

Välj ett av alternativen.

Förenkla uttrycken så långt som möjligt.

a)   $\frac{3x+15}{x+5}$3x+15x+5  

b)   $\frac{x^2-6x+9}{2x^2-18}$x²−6x+92x²−18  

c)   $\frac{\left(x-1\right)^{13}+\left(x-1\right)^{12}}{x}$(x−1)¹³+(x−1)¹²x  

Figuren visar grafen till en funktion $f$ƒ . På grafen är punkterna $A-H$A−H markerade.

a) I en av punkterna $A-H$A−H är  $f’\left(x\right)>0$ƒ ’(x)>0 och $f\left(x\right)<0$ƒ (x)<0 Ange denna punkt. 

b) I några av punkterna $A-H$A−H är $f”\left(x\right)<0$ƒ ”(x)<0 Ange dessa punkter. 

För funktionerna $f$ƒ  och $g$g gäller att $f\left(x\right)=x^3$ƒ (x)=x³ och $g\left(x\right)=6x^2-9x$g(x)=6x²−9x 
Undersök om funktionernas grafer skär varandra i punkten $\left(2,\text{ }8\right)$(2, 8).

János har en kvadratisk plåt som han tänker använda för att bygga ett bo åt sina hamstrar. Han tänker skära bort en kvadratisk bit från ett av plåtens hörn och sedan vika plåten till ett bo, se figur.

János antar att den kvadratiska biten har sidan $x\text{ }$x dm. Sedan bestämmer han boets volym $V\text{ }$V dm$^3$³ som funktion av sidan  $x\text{ }$x dm:

 $V\left(x\right)=x^3-6x^2+9x$V(x)=x³−6x²+9x 

Använd derivata för att beräkna $x$x så att boet får så stor volym som möjligt.

Beräkna arean av området som begränsas av linjen $x=2$x=2, grafen till $f\left(x\right)=$ƒ (x)=$\frac{x^3+1}{4}$x³+14  och de positiva koordinataxlarna.

Arkimedes var en grekisk matematiker och filosof som levde för ungefär $2300$2300 år sedan. Han studerade bland annat parabler.

Figuren visar en parabel och en rektangel i ett koordinatsystem. Rektangeln har hörn i origo, på parabeln och på de positiva koordinataxlarna. Parabeln delar rektangeln i ett grått område ovanför parabeln och ett vitt område under parabeln. Se figur.

Arkimedes påstod att arean av det grå området är dubbelt så stor som arean av det vita området.

Utgå från att parabeln beskrivs med funktionen $y=kx^2$y=kx² där $k$k är en positiv konstant och att hörnet på positiva $x$x-axeln ligger i punkten där $x=a$x=a.

Bevisa att Arkimedes påstående gäller för alla sådana parabler.

Bestäm alla värden på $a$a så att uttrycket $\frac{x^2-ax-12}{x^2+2x-3}$x²−ax−12x²+2x−3  blir möjligt att förenkla.

Figuren visar grafen till $y=3^x$y=3^x och en rät linje som skär grafen i punkterna $\left(0,\text{ }1\right)$(0, 1) och $\left(h,\text{ }3^h\right)$(h, 3^h).

Bestäm $\lim_{h\to0}\text{ }$lim_h→0 $\frac{3^h-1}{h}$3^h−1h  och svara exakt.