Nationellt prov Matematik 3c vt 2013 del B och C

Bestäm alla primitiva funktioner till  $f\left(x\right)=x^2$ƒ (x)=x² 

Förenkla så långt som möjligt

a)  $\frac{3x+24}{2x+16}$3x+242x+16  

b)  $x\left(x^8+2\right)+2x^9-2x$x(x⁸+2)+2x⁹−2x 

Vilket av alternativen är korrekt?

Funktionen $f$ƒ  är kontinuerlig. Rita i koordinatsystemet nedan en skiss som visar hur grafen till $f$ƒ  kan se ut om det gäller att:

• Grafen går genom de markerade punkterna $\left(1,\text{ }3\right)$(1, 3),  $\left(3,\text{ }3\right)$(3, 3) och $\left(5,\text{ }3\right)$(5, 3) 
•   $f’\left(1\right)>0$ƒ ’(1)>0 
•   $f’\left(3\right)<0$ƒ ’(3)<0 
•   $f’\left(5\right)>0$ƒ ’(5)>0 

I figuren visas en cirkel som tangerar x-axeln i punkten $\left(4,\text{ }0\right)$(4, 0).
Punkten $\left(6,\text{ }4\right)$(6, 4)  ligger på cirkeln. Ange cirkelns ekvation.

Bestäm $f’\left(x\right)$ƒ ’(x) 

a)  $f\left(x\right)=3x^4-7x+5$ƒ (x)=3x⁴−7x+5 

b)  $f\left(x\right)=x^k+k$ƒ (x)=x^k+k 

c)  $f\left(x\right)=$ƒ (x)=$\frac{x+5x^2}{x}$x+5x²x  

Figuren visar grafen till funktionen $f$ƒ . Bestäm ett närmevärde till  $\int_0^5f\left(x\right)dx-\int_0^3f\left(x\right)dx$∫₀⁵ƒ (x)dx−∫₀³ƒ (x)dx.

Funktionen $f$ƒ  beskriver hur en växande vattenmelons vikt $y$y beror av tiden $t$t, det vill säga $f\left(t\right)=y$ƒ (t)=y. Vikten $y$y anges i hg (hektogram) och tiden $t$t i veckor.

Vad får du veta genom att bestämma $f’\left(3\right)$ƒ ’(3)?

a) Ge ett exempel på en polynomfunktion $f$ƒ  av fjärde graden för vilken det gäller att $f\left(1\right)=4$ƒ (1)=4.

b) Det finns flera rationella uttryck som uppfyller följande villkor:

• Uttrycket får värdet $0$0 då $x=-1$x=−1 
• Uttrycket är inte definierat för $x=3$x=3 
• Uttrycket är inte definierat för $x=-4$x=−4 

Ge ett exempel på ett rationellt uttryck som uppfyller alla tre villkor. 

I en sjö planterar man in fiskar av en art som inte funnits där tidigare. Fiskpopulationen kan beskrivas med sambandet

 $N\left(t\right)=$N(t)=$\frac{15000}{3+2e^{-0,5\cdot t}}$150003+2e^−0,5·t  där $N$N är antalet fiskar och $t$t är tiden i år efter inplanteringen. 

a) Hur många fiskar planterades in i sjön från början?

b) På grund av olika miljöfaktorer kan antalet fiskar inte bli hur stort som helst. Bestäm den övre gränsen för antalet fiskar med hjälp av sambandet

Funktionen $f$ƒ  har en primitiv funktion $F$F. Grafen till $F$F visas i figuren nedan.

a) Vilken av graferna $A-F$A−F visar en annan primitiv funktion till $f$ƒ  ?

En annan funktion $g$g har en primitiv funktion $G$G. En av graferna $A-F$A−F visar den
primitiva funktionen $G$G.

b) Vilken av graferna $A-F$A−F visar $G$G om $\int\limits_0^1$ $g\left(x\right)dx=3$g(x)dx=3 

$\int\limits_1^2$  $3x^2\text{ }dx$3x^2‍ dx  algebraiskt.

En trädgårdsmästare ska göra en blomrabatt runt hörnet på ett hus. Längs sidorna som inte angränsar mot huset kommer hon att sätta gräskant, se figur $1$1. Hon vill utforma rabatten så att sidorna $BC$BC och $CD$CD är lika långa, se figur $2$2 

I trädgårdsmästarens förråd finns en rulle med $6$6 m gräskant och hon tänker använda hela rullen. Arean för blomrabatten blir då 

$A\left(x\right)=6x-3x^2$A(x)=6x−3x² 

där $x$x är blomrabattens bredd i meter, se figur $2$2.

a)  Trädgårdsmästaren vill att blomrabatten ska ha så stor area som möjligt. Beräkna med hjälp av derivata bredden $x$x så att arean blir maximal.

b)  Vilka värden kan arean $A$A anta i detta sammanhang?

c)  Visa att arean för blomrabatten i figur $2$2 kan beskrivas av $A\left(x\right)=6x-3x^2$A(x)=6x−3x² om trädgårdsmästaren använder $6$6 m gräskant.

Beräkna  $\frac{\left(x+8\right)^{^6}-\left(x+8\right)^5}{\left(x+8\right)^5}$(x+8)⁶−(x+8)⁵(x+8)⁵   då  $x=2,7$x=2,7 

Svara exakt.

Kurvan $y=e^{2x}$y=e^2x är ritad i figuren nedan. Punkten $P$P har $y$y-koordinaten $4$4 

Bestäm kurvans lutning i punkten $P$P.

Svara exakt och på så enkel form som möjligt.

Bevisa att den triangel som innesluts av de positiva koordinataxlarna och en tangent till kurvan $y=$y=$\frac{1}{x}$1x  har arean $2$2 areaenheter oavsett var tangenten tangerar kurvan.

Utgå från att tangeringspunkten har koordinaterna $\left(a,\text{ }\frac{1}{a}\right)$(a, 1a )