Negativa tal - vad är det?

Du kanske har stött på negativa tal i din vardag i samband med temperaturangivelser i er frys eller på vinterhalvåret. Eller kanske när du läst en karta som anger höjd över havet, som ibland visar platser under havsytan vilket då anges med ett negativt tal.

Att räkna antal lika långa steg mellan två tal på en termometer eller tallinje är en visuellt tydligt metod att börja med för att komma lite underfund med de negativa talen.

Ett negativt tal är ett tal som är mindre än noll. Om vi markerar de negativa talen på en tallinje så motsvarar det alla tal till vänster om noll.

När vi gör beräkningar med negativa tal används exakt samma räkneregler som med positiva tal. Vi kommer titta mer på det i nästa lektion.

Ju längre åt vänster en punkt på tallinjen befinner sig, ju mindre tal motsvarar den.

Observera att även om talet $3,5$3,5 motsvarar ett större värde än de andra talen så gör negationen, det vill säga minustecknet, att det blir det största negativa talet, vilket innebär att det är det minsta talet.

Det är viktigt att betona skillnaden mellan operationen subtraktion och beteckning av ett negativt, eller motsatt tal, för att dessa inte skall blandas ihop. Det är nämligen två olika saker.

Vi tittar på tre olika exempel för att förtydliga skillnaden.

Tecken för operationen subtraktion

Exempelvis gäller att minustecknet i $ 12 – 3 = 9$ är en subtraktion mellan de positiva talen $12$12  och $3$3.

Tecken för negativa tal

I uttrycket $ 12 – (-3) $ är det första minustecknet symbolen för subtraktionen mellan talen, men det andra tecknet anger att vi har en negativ trea. Alltså har vi subtraktion mellan talen $12$12 och $-3$−3.

För att skriva matematik på ett korrekt sätt skriver vi aldrig två minus eller plustecken precis i följ, utan skiljer dem med en parantes. Det hjälper oss att tydliggöra, som i detta exempel, att det gäller subtraktion med ett negativt tal.

Tecken för det motsatta talet

Minustecknet kan också användas som symbol för ett så kallat motsatt tal. Ett motsatt tal är ett tal som vid addition med ett annat tal ger summan noll.

Om talet $ a = 3$ så kan vi beteckna det motsatta talet till $a$ som $(-a)=(-3)$ eftersom att $3+\left(-3\right)=0$3+(−3)=0.

Man säger att  $3$3 och $-3$−3 är varandras motsatta tal.

Här nedan ges en förklaringsmodell, med några exempel, på hur man kan förstå addition och subtraktion av negativa tal. Det är sällan man använder en förklaringsmodell som denna i det dagliga räknandet, men den kan vara ett sätt att förstå hur addition och subtraktion av negativa tal fungerar.

Här betecknar en blå ruta en positiv etta, $1$1, och en vit ruta en negativ etta,  $-1$−1.

Det ger att tre blåa rutor och tre vita, som här under, illustrerar summan av talen $-3$−3 och $3$3.

 Tillsammans säger man att talen har värdet noll, för en blå och en vit ruta tar parvis ut varandra. Talen $-3$−3 och $3$3 är motsatta tal eftersom att att $ 3 +(-3) = 0$ och stryker vi en blå ruta för var vit så får vi inga rutor kvar.

Först tittar vi på exemplet vi tidigare löste med tallinjen. Det är ett exempel på addition mellan ett negativ och ett positivt tal.

Sedan ett exempel på subtraktion mellan två negativa tal.

Vi kommer fördjupa teorin kring subtraktion med negativa tal i en kommande lektion.

Istället tittar vi nu på ett exempel på subtraktion mellan ett positivt och ett ett negativ tal med fokus på de blå och vita rutorna.

Och till sist ett exempel på subtraktion mellan två negativa tal där det andra talet är ett större negativt tal än det första.

I de grundläggande gymnasiekurserna fokuserar man inte alltid så mycket på de motsatta talen, men de kan ibland underlätta arbetet med att hitta ”fiffiga” lösningar och därför vara bra att känna till.

Ett sätt att underlätta subtraktion med negativa tal och förtydliga hur subtraktion med negativa tal ger ett större resultat än ursprunget är att använda det motsatta talen för att underlätta beräkningen.

Först ett exempel med subtraktion med ett positivt tal.

Samma metod kan nu användas för att underlätta förståelsen av subtraktion med ett negativt tal. Vi tittar närmre på det i nästa lektion.

Som vi tidigare nämnde motsvarar de negativa talen mängde av alla tal mindre än noll.  Namnets ursprung är latinets negare som betyder förneka eller upphäva. 

Talen cirkulerar tidigt i flera olika kulturer.  Till exempel har man funnit belägg för att man redan cirka $100$100 fKr använt dem i Kina, även om begreppet negativa tal inte införts ännu. Det är troligt att är det indierna som inför begreppet negativa tal någon gång ca $600$600 eKr. De införde ett motsatt tal, alltså ett tal som vid addition ger summan noll, till varje tal. Tex infördes till talet $5$5 ett nytt tal $\left(-5\right)$(−5). De redan existerande talen kallades då de positiva medan de nya talen fick namnet negativa tal. Många tror att de flesta matematiker kände till de negativa talen under $1500$1500– och  $1600$1600-talen, men att de vägrade att acceptera dem som tal och rötter till ekvationer. Först på $1800$1800-talet accepterats de negativa talen fullt ut bland matematiker.

• Exempel på skillnaden mellan $5-3$ och $5-(-3)$.
• De motsatta talen till $5$ och $(-5)$.
• Förklaringsmodell till $2 + (-2)$.
• Förklaringsmodell till $2 + 3 = 5$.
• Förklaringsmodell till $(-2) + (-1)=(-3)$.
• Förklaringsmodell till $(-4) + 2=(-2)$.
• Förklaringsmodell till $(-3) – (-2) = (-1)$.
• Förklaringsmodell till $(-2) – (-4) = 2$.
• Förklaringsmodell till $2 – (-4) = 6$.