00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3c
/  Aritmetik, polynom och rationella Uttryck

Förenkla rationella uttryck

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Ett rationellt uttryck är ett algebraiskt uttryck, som skrivs som en kvot av två polynom.

Rationella uttryck

Med formler skriver vi det så här.

Ett rationellt uttryck $r\left(x\right)$r(x) är en kvot av två polynom $p(x)$p(x) och $q(x)$q(x).

 $r\left(x\right)=$r(x)= $\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$p(x)q(x)      där  $q(x)\ne0$q(x)0 .

Förenkla rationella uttryck

Att förenkla ett rationellt uttryck innebär att skriva om det så kortfattat som möjligt. Med det menar vi att ”rensa” uttrycket så att det är så små heltal och få variabler och termer som möjligt kvar.  T.ex. genom att samla ihop termer av samma slag eller genom det som kallas för förkortning. Men självklart ska detta ske på så vis att uttryckets värde innan och efter förenklingen är detsamma.

Målet när du förkortar rationella uttryck är att hitta gemensamma faktorer i täljaren och nämnarens termer. Dessa vill du först bryta ut för att sedan dividera med varandra. På så sätt förenklar du uttrycket, eftersom att en när en faktor i täljaren och nämnaren är identisk, är deras värde vid division ett.

Detta kan upplevas som att faktorerna ”försvinner”, men observera; ingenting i matematiken försvinner! Det skrivs bara om på en mer effektivt sätt.

Det är de är matematikens olika regler och tals egenskaper som kan få det att det upplevs så. Ett sådant exempel kan vara när termers summa blir lika med noll. Kanske upplever någon att de försvinner, fast det egentligen antal värdet noll. Att vi väljer att inte skriva ut nollan beror på att en ensam nolla inte påverkar uttrycket värde och därmed, enligt matematikens effektivitetsprincip, inte skrivs ut.

Eller vid division mellan två identiska tal om de är faktorer i täljaren och nämnaren i en kvot, vilket kan upplevs som att de ”försvinner” när de ”stryks”. Fast egentligen är orsaken att multiplikation med talet 111 ger ett oförändrat resultat. Se hur i exempel nedan.

Exempel 1

Förkorta så långt som möjligt.

 8x42x3\frac{8x^4}{2x^3}8x42x3  

Lösning

Vi skriver om uttrycket, för att lättare se gemensamma faktorer i täljaren och nämnaren att förkorta. 

Vi kan med övertydlighet skriva det så här.

 8x42x3=42xxxx2xxx=\frac{8x^4}{2x^3}=\frac{4\cdot2\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x}{2\cdot x\cdot x\cdot x}=8x42x3 =4·2·x·x·x·x2·x·x·x =  42xxxx12xxx1=4122xxxxxxx1=\frac{4\cdot2\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x}{1\cdot2\cdot x\cdot x\cdot x\cdot1}=\frac{4}{1}\cdot\frac{2}{2}\cdot\frac{x}{x}\cdot\frac{x}{x}\cdot\frac{x}{x}\cdot\frac{x}{1}=4·2·x·x·x·x1·2·x·x·x·1 =41 ·22 ·xx ·xx ·xx ·x1 =   41111x=4x4\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot x=4x4·1·1·1·1·x=4x 

Tänk på att ingenting ”försvinner” när man förenklar uttryck. Däremot är till exempel xx=\frac{x}{x}=xx = 111 och allt som multipliceras med 111 förblir oförändrat.

Exempel 2

Förenkla det rationella uttrycket xyx\frac{xy}{x}xyx  så långt som möjligt.

Lösning

Då vi har faktorn xxx i både täljaren och nämnaren, kan vi förkorta uttrycket med xxx .

 xyx=\frac{xy}{x}=xyx = yyy  

Här följer igen en (över)tydlig redovisning på de matematiska stegen bakom förkortningen.

 xyx=xyx1=xxy1=11y1=\frac{xy}{x}=\frac{x\cdot y}{x\cdot1}=\frac{x}{x}\cdot\frac{y}{1}=\frac{1}{1}\cdot\frac{y}{1}=xyx =x·yx·1 =xx ·y1 =11 ·y1 = 11\cdot1· y1=y1=\frac{y}{1}=\frac{y}{1}=y1 =y1 = yyy 

Kontrollera att du gjort rätt

Ett uttryck ger samma värde före och efter förenklingen om du gjort rätt. Du kan på så sätt kontrollera din förenkling genom att beräkna uttrycket värde för ett valt xxx-värde innan och efter förenkling och jämföra. Har du gjort rätt ska de ge samma värde.

Om vi exempelvis väljer att beräkna värdet för uttrycket i exempel 1 innan och efter förenkling får vi följande.

Innan förenkling

Uttrycket 8x42x3\frac{8x^4}{2x^3}8x42x3    antar värdet 888 då  x=2x=2x=2 eftersom att 824223=81628=\frac{8\cdot2^4}{2\cdot2^3}=\frac{8\cdot16}{2\cdot8}=8·242·23 =8·162·8 = 888 

Efter förenkling

Efter förenkling antar uttrycket 4x4x4x samma värde då  x=2x=2x=2 eftersom att 42=84\cdot2=84·2=8

Du kan själv prova att stoppa in andra värdet på xxx i de två uttrycket och se att det alltid antar samma värde. Och detta kan du alltså utnyttja till exempel vid prov när du förenklar uttryck.

Ett vanligt fel vid förenkling av rationella uttryck

Att förkorta innebär att dividera både täljaren och nämnaren i en kvot med samma tal eller uttryck. Vi kan inte förkorta rationella uttryck genom att ta bort termer hur som helst. Observerar att man alltså inte får ”stryka” termerna 2x2x2x i täljaren och nämnaren mot varandra! 

Felaktig förenkling av rationellt uttryck

Det är endast faktorer som kan förkortas ”bort” i kvoter. För den tränade kan steget med att bryta ut hoppas över. Men endast om man är tvärsäker på att talet eller uttrycket man förkortar med återfinns som en faktor i alla termer. Men för säkerhets skull rekommenderar vi att alltid faktorisera innan du förkortar, tills dess du har blivit en mästare på att förenkla rationella uttryck!

Exempel 3

Förenkla det rationella uttrycket  2x+42x8\frac{2x+4}{2x-8}2x+42x8  så långt som möjligt.

Lösning

Vi studerar täljaren och nämnaren och letar efter faktorer att bryta ut.

 2x+42x8=\frac{2x+4}{2x-8}=2x+42x8 =               Bryt ut 222 i täljaren och nämnaren

 2(x+2)2(x4)=\frac{2\left(x+2\right)}{2\left(x-4\right)}=2(x+2)2(x4) =             Förkorta med  222 

 x+2x4\frac{x+2}{x-4}x+2x4   

Vad är skillnaden på att förkorta, förlänga och förenkla?

Ofta förväxlar man dess begrepp, då de alla används flitigt i arbeten med att skriva om uttryck i algebran. 

Förkorta är att dividera både täljaren och nämnaren i en kvot med samma tal eller uttryck.

Förlänga är att multiplicera både täljaren och nämnaren i en kvot med samma tal eller uttryck.

Förenkla är att skriva om ett uttryck så kortfattat som möjligt. När det gäller rationella uttryck och andra kvoter, vill man ha så små koefficienter och få termer som möjligt.

Förenkla rationella uttryck med konjugatregeln och kvadreringsreglerna

Man kan använda sig av konjugatregeln och/eller kvadreringsreglerna för att först faktorisera det rationella uttrycket så att det sedan kan förkortas. Detta är en mycket vanlig metod i denna kurs, som du bör behärska inna kursen slut. Vi repeterar reglerna.

Konjugatregeln

(a+b)(ab)=a2b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Kvadreringsreglerna

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(ab)2=a22ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Ju mer man tränar på att faktorisera med dessa regler, desto lättare blir det att snabbt förenkla det rationella uttrycket.

Exempel 4

Förenkla  x2+6x+9x+3\frac{x^2+6x+9}{x+3}x2+6x+9x+3   så långt som möjligt.

Lösning

Vi studerar täljaren och ser att vi kan faktorisera med kvadreringsregeln.

 x2+6x+9x+3\frac{x^2+6x+9}{x+3}x2+6x+9x+3                          

Vi skriver om uttrycket för att att tydligare se sambandet med kvadreringsregeln.         

 x2+23x+32x+3\frac{x^2+2\cdot3x+3^2}{x+3}x2+2·3x+32x+3         Faktorisera med kvadreringsregeln i täljaren

 (x+3)2x+3\frac{\left(x+3\right)^2}{x+3}(x+3)2x+3                   Vi skriver om för att tydligare se faktorerna i täljaren

 (x+3)(x+3)x+3\frac{\left(x+3\right)\left(x+3\right)}{x+3}(x+3)(x+3)x+3               Förkorta med (x+3)\left(x+3\right)(x+3)                 

 (x+3)1\frac{\left(x+3\right)}{1}(x+3)1                       Beräkna kvoten

 (x+3)\left(x+3\right)(x+3)      

Givetvis kan du hoppa över vissa steg när du tränat.

Förenkling med likheter

Vi vill här passa på att be dig observera ett följdproblem med att slarva med användandet av likhetstecknet när förenklar uttryck.

I Exempel 3 fick vi att

 x2+6x+9x+3\frac{x^2+6x+9}{x+3}x2+6x+9x+3  =(x+3)=\left(x+3\right)=(x+3)   

Men observera följande följdproblem.

Exempel 5

Är  f(x)=g(x)f\left(x\right)=g\left(x\right)ƒ (x)=g(x) då  f(x)=f\left(x\right)=ƒ (x)=  x2+6x+9x+3\frac{x^2+6x+9}{x+3}x2+6x+9x+3    och  g(x)=x+3g\left(x\right)=x+3g(x)=x+3 ?

Lösning

 Från exempel 3 ser genom förenkling av uttrycket att 

 x2+6x+9x+3=\frac{x^2+6x+9}{x+3}=x2+6x+9x+3 x+3x+3x+3                    

Men eftersom att funktionerna ffƒ  och ggg har olika definitionsmängder kan vi inte konstatera att  f(x)=g(x)f\left(x\right)=g\left(x\right)ƒ (x)=g(x)

Den rationella funktionen ffƒ  är inte definierat för x=3x=-3x=3 då nolldivision uppstår, medan funktionen ggg är det då  g(3)=(3+3)=0g\left(-3\right)=\left(-3+3\right)=0g(3)=(3+3)=0 

Vi vill härmed understryka vikten av att alltid notera definitions- och värdemängd vid uppstarten av arbetet med en uppgift. Detta för att undgå att få  förenklingar som ger missvisande definitionsmängder samt ekvationslösningar med falska rötter.

Med det sagt använder vi likheten vid förenkling av uttryck med viss försiktighet. 

Vi avslutar med ett exempel.

Exempel 6

Förenkla  2a22b210a+10b\frac{2a^2-2b^2}{10a+10b}2a22b210a+10b   så långt som möjligt.

Lösning

Vi studerar täljaren och nämnaren för att finna gemensamma faktorer.

 2a22b210a+10b\frac{2a^2-2b^2}{10a+10b}2a22b210a+10b                         Bryt ut 222 i täljaren och 101010 i nämnaren    

 2(a2b2)10(a+b)\frac{2(a^2-b^2)}{10(a+b)}2(a2b2)10(a+b)                         Faktorisera med konjugatregeln i täljaren

 2(a+b)(ab)10(a+b)\frac{2(a+b)(a-b)}{10(a+b)}2(a+b)(ab)10(a+b)                   Förkorta med (a+b)(a+b)(a+b) 

 2(ab)10\frac{2(a-b)}{10}2(ab)10                            Förkorta med 222 

 ab5\frac{a-b}{5}ab5  

Det är många som känner att detta är komplicerat till en början, men kom ihåg: Träning ger färdighet!

Exempel i videon

  • Förenkla 1212 \frac{12}{12}
  • Förenkla 1216 \frac{12}{16}
  • Förenkla x3x2 \frac{x^3}{x^2}
  • Förenkla x2xx \frac{x^2-x}{x} Visas på två olika vis.
  • Skriv 2x36x210x30 \frac{2x^3-6x^2}{10x-30} på enklaste form
  • Skriv a29a+3 \frac{a^2-9}{a+3} på enklaste form
  • Skriv 4x+416x2+32x+16 \frac{4x+4}{16x^2+32x+16} på enklaste form