00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3
C
/  Trigonometri

Repetition av sin, cos och tan

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

I den här lektionen repeterar vi de grunder om trigonometri i rätvinkliga trianglar. Du tränar på hantering av sinus, cosinus och tangens och att lösa enklare trigonometriska ekvationer.

Sinus, cosinus och tangen inom trigonometrin

För fler uppgifter på grundnivå kan du återvända till lektionen om sinus, cosinus och tangens.

Trigonometri i Ma3c

Det område, som i matematiken kallas för trigonometri handlar om samband mellan vinklar och sidor i en triangel.

Det finns många tillämpningsområden. I tidigare kurser har vi introducerat sambanden i rätvinkliga trianglar. I denna kurs ska vi utvidga användning av sinus, cosinus och tangens till att beräkna areor och sidor i alla godtyckliga trianglar, alltså i vilken triangel som helst, även de som inte är rätvinkliga.

Det kommer vi göra med hjälp av det som fått namnet triangelsatserna. Vi kommer titta på areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen.

I denna kurs kommer vi även introducera cirkelns ekvation och enhetscirkeln. Men mer om det i kommande lektioner. Först repeterar vi.

De trigonometriska samband i rätvinkliga trianglar som du behöver känna till är följande.

Trigonometriska samband

I triangeln nedan kallas aaa motstående katet och bbb för närliggande katet och ccc för hypotenusan i förhållande till vinkel vvv.

bild på rätvinklig triangel

Då gäller att

 sinv=\sin v=sinv= ac\frac{a}{c}ac  

 cosv=\cos v=cosv=bc\frac{b}{c}bc   

 tanv=\tan v=tanv=ab\frac{a}{b}ab    

Utifrån dessa definitioner kan vi bestämma vinklar och längder i rätvinkliga trianglar.

Från vinkel till kvot

Beroende på vilken vinkel och sida som är känd på triangeln väljer du lämplig trigonometriskt samband för att bestämma en okänd sida.

Exempel 1

Bestäm längden av triangelns sida xxx

Exempel 1

Ange med en decimals noggrannhet.

Lösning

Enligt definitionen för cosinus får vi att

 cos36=\cos36^{\circ}=cos36= 5x\frac{5}{x}5x            Multiplicera med xxx 

 xcos36=5x\cdot\cos36^{\circ}=5x·cos36=5          Dividera båda leden med cos36\cos36^{\circ}cos36 

 x=x=x= 5cos36\frac{5}{\cos36^{\circ}}5cos36   6,18 \approx6,18\text{ }6,18  

Triangelns sida är  x=6,2x=6,2x=6,2 cm.

Från kvot till vinkel

Tidigare har vi även visat att du med hjälp av sinusinvers, cosinusinvers och tangensinvers kan bestämma en vinkel om du känner till två sidor i en rätvinklig triangel. Inverserna kan betecknas på två olika vis.

  • Sinusinvers betecknas sin1\sin^{-1}sin1  eller arcsin\arcsinarcsin 
  • Cosinusinvers betecknas  cos1\cos^{-1}cos1  eller arccos\arccosarccos 
  • Tangensinvers betecknas  tan1\tan^{-1}tan1  eller arctan\arctanarctan

Även vid bestämmandet av en okänd vinkels storlek väljer du lämplig trigonometriskt samband utifrån vilka sidor som är kända på triangeln.

Följande samband gäller.

 sinv=\sin v=sinv=  ac\frac{a}{c}ac      ger att     v=sin1v=\sin^{-1}v=sin1  (ac)\left(\frac{a}{c}\right)(ac ) 

 cosv=\cos v=cosv=  bc\frac{b}{c}bc      ger att     v=cos1v=\cos^{-1}v=cos1  (bc)\left(\frac{b}{c}\right)(bc ) 

 tanv=\tan v=tanv=  ab\frac{a}{b}ab      ger att     v=tan1v=\tan^{-1}v=tan1  (ab)\left(\frac{a}{b}\right)(ab ) 

Vi visar nu hur man utifrån två sidor på en rätvinklig triangel kan bestämma en vinkel.

Exempel 2

Bestäm vinkeln vvv.

Lösning

Vi ställer upp sambandet

 tanv=\tan v=tanv=  75\frac{7}{5}75          Invers av tangens

 v=tan1(75)54,46v=\tan^{-1}\left(\frac{7}{5}\right)\approx54,46^{\circ}v=tan1(75 )54,46 

Utifrån dessa samband ska vi i kommande lektioner utvidga kunskapen till att kunna beräkna sambandet mellan triangelns area, sidor och vinklar. 

Två speciella trianglar

Det finns två trianglar som genom tiderna fått en särskild uppmärksamhet när de gäller att göra trigonometriska beräkningar.

Det är en likbent triangel som motsvarar en halv kvadrat med sidan 111 samt den triangel som uppstår när man dela en liksidig triangel med sidan  222 på mitten.

För dessa båda kan teckna följande snygga exakta samband.

Halv kvadrat med sidan 111

Figuren ger de trigonometriska sambanden

  sin45=\sin45^{\circ}=sin45= 12\frac{1}{\sqrt{2}}12  

  cos45=\cos45^{\circ}=cos45=12\frac{1}{\sqrt{2}}12  

 tan45=1\tan45^{\circ}=1tan45=1 

Halv liksidig triangel med sidan  222 

Figuren ger de trigonometriska sambanden

  sin30=\sin30^{\circ}=sin30= 12\frac{1}{2}12  

  cos30=\cos30^{\circ}=cos30= 32\frac{\sqrt{3}}{2}32  

 tan30=\tan30^{\circ}=tan30= 13\frac{1}{\sqrt{3}}13   

  sin60=\sin60^{\circ}=sin60= 32\frac{\sqrt{3}}{2}32  

  cos60=\cos60^{\circ}=cos60= 12\frac{1}{2}12  

 tan60=3\tan60^{\circ}=\sqrt{3}tan60=3  

Dessa samband finns i formelsamlingen och är kraftfulla att använda när man ska lösa ekvationer eller bestämma vinklar utan digitala hjälpmedel.

Exempel 3

Bestäm det exakta värdet av  sin60+cos30\sin60^{\circ}+\cos30^{\circ}sin60+cos30 utan räknare men med hjälp av följande figur.

Lösning

 Vi läser av sambanden i figuren och får att

  sin60+cos30=\sin60^{\circ}+\cos30^{\circ}=sin60+cos30= 32+32=232=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\cdot\sqrt{3}}{2}=32 +32 =2·32 =  3\sqrt{3}3 

Tänk på att du själv kan skapa trianglar och vinklar i figurer genom dra olika radier och räta linjer i de givna figurerna. På så sätt kan du lösa uppgifter som till en början verka olösbara.