Författare:Simon Rybrand
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
I den här lektionen repeterar vi de grunder om trigonometri i rätvinkliga trianglar. Du tränar på hantering av sinus, cosinus och tangens och att lösa enklare trigonometriska ekvationer.
För fler uppgifter på grundnivå kan du återvända till lektionen om sinus, cosinus och tangens.
Trigonometri i Ma3c
Det område, som i matematiken kallas för trigonometri handlar om samband mellan vinklar och sidor i en triangel.
Det finns många tillämpningsområden. I tidigare kurser har vi introducerat sambanden i rätvinkliga trianglar. I denna kurs ska vi utvidga användning av sinus, cosinus och tangens till att beräkna areor och sidor i alla godtyckliga trianglar, alltså i vilken triangel som helst, även de som inte är rätvinkliga.
Det kommer vi göra med hjälp av det som fått namnet triangelsatserna. Vi kommer titta på areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen.
I denna kurs kommer vi även introducera cirkelns ekvation och enhetscirkeln. Men mer om det i kommande lektioner. Först repeterar vi.
De trigonometriska samband i rätvinkliga trianglar som du behöver känna till är följande.
Trigonometriska samband
I triangeln nedan kallas aa motstående katet och bb för närliggande katet och cc för hypotenusan i förhållande till vinkel vv.
Då gäller att
sinv=sinv= caac
cosv=cosv=cbbc
tanv=tanv=baab
Utifrån dessa definitioner kan vi bestämma vinklar och längder i rätvinkliga trianglar.
Från vinkel till kvot
Beroende på vilken vinkel och sida som är känd på triangeln väljer du lämplig trigonometriskt samband för att bestämma en okänd sida.
Exempel 1
Bestäm längden av triangelns sida xx.
Ange med en decimals noggrannhet.
Lösning
Enligt definitionen för cosinus får vi att
cos36∘=cos36∘= x55x Multiplicera med xx
x⋅cos36∘=5x·cos36∘=5 Dividera båda leden med cos36∘cos36∘
x=x= cos36∘55cos36∘ ≈6,18 ≈6,18
Triangelns sida är x=6,2x=6,2 cm.
Från kvot till vinkel
Tidigare har vi även visat att du med hjälp av sinusinvers, cosinusinvers och tangensinvers kan bestämma en vinkel om du känner till två sidor i en rätvinklig triangel. Inverserna kan betecknas på två olika vis.
- Sinusinvers betecknas sin−1sin−1 eller arcsinarcsin
- Cosinusinvers betecknas cos−1cos−1 eller arccosarccos
- Tangensinvers betecknas tan−1tan−1 eller arctanarctan
Även vid bestämmandet av en okänd vinkels storlek väljer du lämplig trigonometriskt samband utifrån vilka sidor som är kända på triangeln.
Följande samband gäller.
sinv=sinv= caac ger att v=sin−1v=sin−1 (ca)(ac )
cosv=cosv= cbbc ger att v=cos−1v=cos−1 (cb)(bc )
tanv=tanv= baab ger att v=tan−1v=tan−1 (ba)(ab )
Vi visar nu hur man utifrån två sidor på en rätvinklig triangel kan bestämma en vinkel.
Exempel 2
Bestäm vinkeln vv.
Lösning
Vi ställer upp sambandet
tanv=tanv= 5775 Invers av tangens
v=tan−1(57)≈54,46∘v=tan−1(75 )≈54,46∘
Utifrån dessa samband ska vi i kommande lektioner utvidga kunskapen till att kunna beräkna sambandet mellan triangelns area, sidor och vinklar.
Två speciella trianglar
Det finns två trianglar som genom tiderna fått en särskild uppmärksamhet när de gäller att göra trigonometriska beräkningar.
Det är en likbent triangel som motsvarar en halv kvadrat med sidan 11 samt den triangel som uppstår när man dela en liksidig triangel med sidan 22 på mitten.
För dessa båda kan teckna följande snygga exakta samband.
Halv kvadrat med sidan 11
Figuren ger de trigonometriska sambanden
sin45∘=sin45∘= 211√2
cos45∘=cos45∘=211√2
tan45∘=1tan45∘=1
Halv liksidig triangel med sidan 22
Figuren ger de trigonometriska sambanden
sin30∘=sin30∘= 2112
cos30∘=cos30∘= 23√32
tan30∘=tan30∘= 311√3
sin60∘=sin60∘= 23√32
cos60∘=cos60∘= 2112
tan60∘=3tan60∘=√3
Dessa samband finns i formelsamlingen och är kraftfulla att använda när man ska lösa ekvationer eller bestämma vinklar utan digitala hjälpmedel.
Exempel 3
Bestäm det exakta värdet av sin60∘+cos30∘sin60∘+cos30∘ utan räknare men med hjälp av följande figur.
Lösning
Vi läser av sambanden i figuren och får att
sin60∘+cos30∘=sin60∘+cos30∘= 23+23=22⋅3=√32 +√32 =2·√32 = 3√3
Tänk på att du själv kan skapa trianglar och vinklar i figurer genom dra olika radier och räta linjer i de givna figurerna. På så sätt kan du lösa uppgifter som till en början verka olösbara.
Kommentarer
e-uppgifter (11)
1.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Hur definieras sinus för vinkeln vv i en rätvinklig triangel?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: Sin, cos och tanRättar...2.
(1/0/0)E C A B P PL M 1 R K Bestäm den kvot som motsvarar värdet för sinvsinv i triangeln nedan.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: sinv=ca(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Lös ekvationen cosx=0,9cosx=0,9
Ange svaret med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x≈25,8°(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilket alternativ anger rätt värde på vv ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...5. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Beräkna sidan aa i triangeln.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: a=3 l.e(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: Sin, cos och tanRättar...6. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Beräkna vinkeln vv.
Svara med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: v≈64,2∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: Sin, cos och tanRättar...7. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Beräkna vinkeln vv.
Svara med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: v≈64,3∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...8. Premium
(1/0/0)E C A B P PL 1 M R K Beräkna kraften F då Fx=200 N.
Avrunda till ett heltal med enheten N (Newton).
Svar:Ditt svar:Rätt svar: F=311 N(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...9. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Bestäm tangens för vinkeln vv i en rätvinklig triangel, om dess närliggande katet har längden 55 och dess motstående katet har längden 1515.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 3(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: Sin, cos och tanRättar...10. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Bestäm det exakta värdet av (sin45∘)2+tan45∘(sin45∘)2+tan45∘ utan räknare men med hjälp av följande figur.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 1,5(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...11. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Bestäm det exakta värdet av cos60∘+sin30∘cos60∘+sin30∘ utan räknare men med hjälp av följande figur.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 1(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (7)
12. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Bestäm tanutanu då tanv=tanv= 117711
Ange exakt svar.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: tanu=711(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: Sin, cos och tanRättar...13. Premium
(0/2/0)E C A B P 1 PL 1 M R K I en rätvinklig triangel är sinv=sinv=23√32 . Bestäm cosvcosv.
Ange exakt värde.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: cosv=21(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...14. Premium
(0/2/0)E C A B P PL 1 M 1 R K En liksidig triangel med sidan 66 l.e har delats på mitten till två lika dana räta trianglar.
Bestäm längden av den längsta kateten i de räta trianglarna.
Ange exakt värde.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...15. Premium
(0/1/0)E C A B P PL M R 1 K Din vän påstår att i rätvinkliga trianglar gäller att cosv>sinvcosv>sinv för alla vinklar vv som är större än 45∘45∘.
Håller du med?
Ange ditt svar med Ja eller Nej, men träna även på att motivera det.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Nej, det stämmer inte.(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...16. Premium
(0/2/0)E C A B P PL 1 M 1 R K Beräkna arean av en liksidig triangel med sidan 3√3 l.e.
Lös uppgiften utan räknare och svara exakt.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 43⋅3 a.e(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...17. Premium
(0/3/0)E C A B 1 P PL 2 M R K Triangeln △ABC△ABC är likbent. Bestäm triangelns omkrets då tanx=1tanx=1 och den längsta sidan på triangeln är 6√6 l.e.
Ange svaret med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 5,9 l.e(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: Enkla Trigonometriska ekvationerRättar...18. Premium
(0/2/1)E C A B P PL 1 1 M 1 R K Din vän bor i ett höghus och har gått ut på balkongen för att vinka till dig.
Du står 3030 meter från foten av det hus där din vän bor och uppskattar därifrån vinkeln mellan marken och högsta punkten på höghuset till 53∘53∘.
Din vän vet att hans balkong sitter på en höjd som motsvarar 107710 av hela husets höjd.
Beräkna, utifrån de uppskattade värdena, hur stor vinkeln mellan marken och undersidan av balkongen är utifrån den plats du står på.
Ange svaret avrundat till hela grader.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 43∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: Träna mera TrigonometriRättar...
a-uppgifter (2)
19. Premium
(0/0/1)E C A B P PL M R 1 K Ni har fått i uppgift att bestämma längden på en tredje okänd sida i en triangel, där de två kända sidorna är 44 och 66 cm långa, och vinkeln motstående mot sidan 44 är 40∘40∘.
Dina två vänner har fått olika resultat. Kan båda ha rätt?
Träna på att motivera ditt svar, men ange här endast svaret Ja eller Nej.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Ja, båda kan ha rätt.(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: Cirkelns ekvationRättar...20. Premium
(0/0/3)E C A B P PL 2 M R K 1 Din vän håller på att konstruera ett fönster med formen av en halvcirkel. Figuren visar en ritning av fönstret.
Bestäm längden xx.
Ange svaret i hela centimeter.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 32 cm(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Eva Boström
Hej, svaret uppgift 17 står det
Definitionen för tangens är sinv = Hypotenusan Motsta˚ende katet och ger oss att…
Menar ni definitionen för sin eller också definitionen för tanges är a/b
eftersom just nu så verkar det som att definitionen inte är korrekt eller också titeln för definitionen är feltitulerad..
Eva Boström
Hej,
vad är basen i fråga 16? enligt den så är basen roten ur 3???
Leon Stenberg Wadstrom
Hej, på uppgift 16 förstår jag inte hur man omvandlar sin60 till roten ur 3 delat på 2.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Leon,
om du tittar i din formelsamling så får du hjälp med omvandlingen i tabellen.
DU kan även ta en till på figuren i texten här ovan och se att det är just definitionen av sin och förhållandet i en liksidig triangeln som ger detta.
Anonym
Varför kan inte uppgiften ta emot v = 64,2? Man ska väl inte behöva göra grader-tecknet? Det gå inte att göra det på min laptop eller stationära dator.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Johan,
du kan skriva ”grader” med bokstäver om du vill. Men det är som du undrar, systemet vill ha med ett gradtecken eller ordet ”grader” för att ge korrekt svar.
Man kan tycka att det är onödigt med i kommande kurser så kommer vi introducera ett nytt vinkel mått, radianer, och då är det avgörande om man skriver med gradtecknet eller ej. Därför vill vi redan nu påminna om viken av detta.
Om du inte vill skriva ut det kan du rätta uppgiften manuellt genom att klicka på FACIT och klicka i ”rätt svar” själv.
Hoppas du ska tycka det fungerar!
Hadar Herlin
Jag skriver rätt svar (det som facit skriver) men det blir endå fel
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Kan det vara att du glömmer skriva med x= ?
Om du klickar på FACIT och sedan Korrekta varianter så ser du alla olika varianter systemet ger rätt för.
Kontakta oss gärna igen om det fortfarande inte fungerar.
Erik Cairns
Finns flera svar på uppgift 4
Både cos(-x) och cos(x) är rätt.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Erik,
det stämmer. Men i denna kursen nöjer vi oss med den positiva roten och återkommer till det i Ma4
Alexander Y
enligt er
Alexander Y
hej det verkar vara fel på 3. 25,8° ska tydligen vara ett inkorrekt svar
Simon Strindberg
Uppgift 7. Är inte den motstående kateten 12,7 och närliggande 6,1?
Dvs vinkeln borde vara Tan(12,7/6,1)?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, tänk där på att vinkeln inte ligger nere till vänster som det ofta ser ut i tex formelblad och böcker.
Endast Premium-användare kan kommentera.