Nationellt prov Matematik 2a vt 2017 DEL B och C

Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs.

Bestäm funktionens nollställen.

Bestäm funktionens största värde.

$x^7=21$x⁷=21

 $x^{\frac{1}{5}}=10$x¹⁵ =10 

Ett av koordinatsystemen A–F visar ekvationssystemet $ \begin{cases} y=-\frac{1}{2}x+2 \\ y=2x-3 \end{cases} $

Vilket?

Markera lösningen till ekvationssystemet $ \begin{cases} y=-\frac{1}{2}x+2 \\ y=2x-3 \end{cases} $ i det valda koordinatsystemet.

$(7x+3y)(\quad\quad)=49x^2+42xy+9y^2$

$(\quad\quad)(\quad\quad)=25-4y^2$

Figuren visar grafen till funktionen $f$f.

Använd grafen och bestäm $a$a om $f(a)=-1$f(a)=−1.

För en andragradsfunktion $f$f, där $y=f(x)$y=f(x), gäller att

• $f(x)\leq0$f(x)≤0 för alla $x$x
• $f(2)=0$f(2)=0

Skissa i koordinatsystemet ett exempel på hur grafen till andragradsfunktionen $f$f kan se ut.

Lena tränar på gym och använder en maskin för att träna ryggen. Genom att stoppa in en sprint i en viktskiva på maskinens viktstapel kan hon välja den totala vikt hon vill använda. Se bilderna.

Den minsta vikt som maskinen kan ställas in på är  $5$5  kg och viktskivan är då märkt med $5$5. Därefter är viktskivorna märkta med $12,\text{ }19,\text{ }26,\text{ }…\text{ },138$12, 19, 26, … ,138 enligt tabellen.

Låt $y$y vara den totala vikten i kg som Lena använder och $x$x antalet viktskivor som hon väljer i viktstapeln.

Ställ upp en funktion för hur den totala vikten, $y$y kg, beror av antalet valda viktskivor $x$x.

Beräkna värdet av uttrycket  $4444^2-4443^2$4444²−4443² 

Ledtråd: Kan lösas med konjugatregeln.

a) Bestäm en andragradsfunktion $g$g vars graf inte skär grafen till funktionen $f$f i någon punkt.

$g(x)=$g(x)=_____________

Ange värdemängden för andragradsfunktionen $g$g.

Delprov C: Digitala verktyg är inte tillåtna. Fullständiga lösningar krävs.

En av graferna visar att den årliga procentuella förändringen av bostadsrättens värde har varit lika stor mellan åren 2000 och 2016. Ange vilken graf och motivera ditt svar.

Anta att värdeutvecklingen fortsätter med samma årliga procentuella förändring även efter år 2016. Använd grafen och bestäm hur mycket bostadsrätten då skulle vara värd i januari år 2018.

Välj en av metoderna A, B eller C och förklara kortfattat vad som är gjort i den påbörjade lösningen.

Fortsätt att lösa ekvationen $x^2+4x-5=0$x²+4x−5=0 enligt den valda algebraiska metoden.

Nedan finns två utsagor.

Utsaga 1: Alla sidor i en fyrhörning $ABCD$ABCD är lika långa.

Utsaga 2: Fyrhörningen $ABCD$ABCD är en kvadrat.

Förklara varför det inte är korrekt att använda ekvivalenssymbolen $\Leftrightarrow$⇔ mellan utsaga 1 och utsaga 2.

Grafen till en andragradsfunktion $f$f har sitt ena nollställe i $x=3$x=3 och sitt maximum i punkten $(0,\,18)$(0, 18).

För andragradsfunktionen $f$f gäller att $f(x)=Ax^2+Bx+C$f(x)=Ax²+Bx+C. Bestäm funktionen $f$f.

Anta att $a$a, $b$b och $c$c är tre på varandra följande heltal där $a<b<c$a<b<c.

Undersök om uttrycket  $\frac{a^2+b^2+c^2-2}{3}$a²+b²+c²−23   alltid är ett heltal för alla sådana på varandra följande heltal $a$a, $b$b och $c$c.

Lös ekvationen

 $\frac{2^{n-4}\sqrt{2^{n+1}}}{\sqrt{2^{-2n-2}}}=2^{15}$2ⁿ⁻⁴√2ⁿ⁺¹√2⁻²ⁿ⁻² =2¹⁵