Nationellt prov Matematik 2b ht 2013 DEL B och C

Ange vilken av figurerna A-E nedan som visar grafen till

a)  $y=x+3$y=x+3

b)  $y=$y=$-\frac{1}{3}$−13 $x+1$x+1 

Lös ekvationerna och svara exakt.

a)  $x^5=10$x⁵=10 

b)  $3^x=12$3^x=12 

Trianglarna $T_1$T₁ och $T_2$T₂ är likformiga.

Ange storleken på den minsta vinkeln i triangeln $T_2$T₂ 

För en andragradsfunktion $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) gäller att

• funktionen har nollställena $x=-3$x=−3 och $x=7$x=7 
• funktionens största värde är $10$10 

a) Ange koordinaterna för funktionens maximipunkt.

b) Samma funktion $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) går även genom punkten $\left(-8,-30\right)$(−8,−30) 

Ange koordinaterna för ytterligare en punkt som funktionen går genom.
Denna punkt ska inte vara maximipunkten eller ett nollställe.

För funktionen $f$ƒ  gäller att $f\left(x\right)=2x-a$ƒ (x)=2x−a 

För vilka värden på  $a$a  gäller att  $\left(f\left(1\right)\right)^2=4$(ƒ (1))²=4 

Lös ekvationerna

a)  $a^{\frac{1}{3}}\cdot a^{\frac{2}{3}}=a^3\cdot a^x$a¹³ ·a²³ =a³·a^x 

c)  $4^x+4^x+4^x+4^x=2^{12}$4^x+4^x+4^x+4^x=2¹² 

______________
b)-uppgiften ingår från och med ht22 i Ma4

b)  $x^2-i^2=-3$x²−i²=−3 

Bestäm ett exakt värde för  $x^3$x³ om  $\lg x^{\frac{3}{5}}=2$lgx³⁵ =2 

För funktionerna $f$ƒ  och $g$g gäller att  $f\left(x\right)=6+6x$ƒ (x)=6+6x och  $g\left(x\right)=\left(x-3\right)^2$g(x)=(x−3)² 

Förenkla uttrycket $f\left(x\right)+g\left(x\right)$ƒ (x)+g(x) så långt som möjligt.

Lös ekvationerna med algebraisk metod.

a)  $x^2-6x-16=0$x²−6x−16=0 

b)  $x\left(x+3\right)=x+3$x(x+3)=x+3 

En förening vill beställa T-tröjor med sin logga tryckt på fickan. Fickans mått framgår av figur 1. Figur 2 visar en bild av föreningens logga.

Föreningen vill att loggan som trycks på fickan ska vara så stor som möjligt.
Förhållandet mellan loggans höjd och bredd ska vara oförändrat.

Bestäm vilka mått loggan ska ha.

Figuren nedan visar en rät linje som går genom punkten $P\left(3,\text{ }4\right)$P(3, 4). Linjen skär den positiva $y$y-axeln i en punkt $A$A. Avståndet mellan origo och punkten $A$A är lika stort som avståndet mellan origo och punkten $P$P.

Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna $A$A och $P$P.

För funktionen $f$ƒ  gäller att  $f\left(x\right)=x^2$ƒ (x)=x² 

Förenkla uttrycket $\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$ƒ (a+h)−ƒ (a)h  så långt som möjligt.

I ekvationssystemet nedan är $A$A och $B$B konstanter.

$\begin{cases} 15x-6=-By \\ Ax-3y=4 \end{cases} $

Bestäm konstanterna $A$A och $B$B så att ekvationssystemet har oändligt många
lösningar.

Arkimedes är en av tidernas största matematiker och levde för två tusen år sedan. I en arabisk samling av Thabit ibn Currah finns det geometriska satser som med stor sannolikhet bevisats av Arkimedes. Figurerna nedan åskådliggör en sådan matematisk sats.

Figur 1 visar ett område som begränsas av fyra halvcirklar. Den grå cirkeln i figur 2 har diametern CD.

Visa att arean av den grå cirkeln i figur 2 är lika stor som arean av området i figur 1.