Nationellt prov Matematik 3c vt 2015 del D

För funktionen $f$ƒ  gäller att $f\left(x\right)=x^3+3x^2$ƒ (x)=x³+3x² 

$F$F är en primitiv funktion till $f$ƒ . Grafen till $F$F går genom punkten $\left(2,\text{ }7\right)$(2, 7). Se figur.

Bestäm den primitiva funktionen $F$F.

Hugo löser ekvationen $\left|x+2\right|+0,5x=5$|x+2|+0,5x=5 och får lösningen $x=2$x=2. Kompisen Lisa påstår att även $x=-12$x=−12 är en lösning till ekvationen.

Har Lisa rätt? Motivera ditt svar

Temperaturen hos vattnet i en flaska som ställs in i ett kylskåp kan beskrivas med modellen $T\left(x\right)=17e^{-0,693x}+5$T(x)=17e^−0,693x+5 där $T\left(x\right)$T(x) är vattnets temperatur i $°C$°C och $x$x är tiden i timmar efter att flaskan ställdes in i kylskåpet.

a) Bestäm vattnets temperatur då flaskan ställs in i kylskåpet. 

b) Bestäm efter hur lång tid vattnets temperatur är $10\text{ }°C$10 °C.

c) Bestäm hur snabbt vattnets temperatur sjunker två timmar efter att flaskan ställdes in i kylskåpet. 

d) Enligt modellen kommer vattnets temperatur med tiden att närma sig en undre gräns. Bestäm denna undre gräns med hjälp av modellen.

Grafen till $f\left(x\right)=x^4-4x$ƒ (x)=x⁴−4x har en tangent i punkten $P$P. Tangenten har lutningen $-17,5$−17,5 Bestäm $x$x-koordinaten för punkten $P$P.

Två båtar lämnar en hamn vid samma tidpunkt. Båda båtarna håller konstant hastighet. Båt $A$A har hastigheten  $50$50 km/h och båt $B$B har hastigheten $36$36 km/h. Båtarna håller rak kurs så att vinkeln mellan deras färdriktningar alltid är $52°$52°.

Båtarna står i radiokontakt med varandra. När avståndet mellan dem är $74$74 km bryts kontakten. Anta att det tar $t$t timmar innan kontakten bryts. Beräkna tiden $t$t. Svara med en decimal

Två olika stora kvadrater placeras enligt följande villkor:

• Kvadraterna ska ha var sitt hörn i samma punkt $P$P.

• Kvadraterna ska inte ha några andra gemensamma punkter.

Mellan kvadraternas hörn dras två linjer så att två trianglar bildas utanför kvadraterna. Figuren nedan visar ett exempel på hur det kan se ut.

Bevisa att den ena triangeln alltid har lika stor area som den andra triangeln.

Bakterien Clostridium perfringens kan orsaka allvarlig matförgiftning. Om mat som innehåller denna bakterie får svalna i rumstemperatur ökar antalet bakterier. Därför bör man alltid snabbt kyla ner maten efter tillagning. Det krävs ungefär $100\text{ }000$100 000 bakterier per gram mat för att en person ska bli matförgiftad.

Anta att det direkt efter tillagningen finns $100$100 bakterier per gram i en bit kokt lax. Den kokta laxen får svalna i rumstemperatur. Bakteriernas antal ökar med hastigheten $5,73e^{0,0573t}$5,73e^0,0573t bakterier per gram per minut vid tidpunkten $t$t minuter.

Hur lång tid tar det innan det finns så många bakterier per gram i laxen att en person som äter av den riskerar att bli matförgiftad?

Sara säljer blåbär på torget. Hon har upptäckt att varje gång hon höjer priset med $1$1 kr/kg minskar mängden blåbär som hon säljer per dag med $2$2 %. Om hon sätter priset till $40$40 kr/kg får hon sälja $30$30 kg per dag.

a) Bestäm dagsinkomsten $D$D kr som funktion av prishöjningen $x$x kr/kg, där $0\le x\le60$0≤x≤60.     Endast svar krävs

b) Utgå från funktionsuttrycket i a)-uppgiften och rita grafen. Bestäm med hjälp av grafen vilket kilopris som ger den största dagsinkomsten.