Högskoleprovet Vår 2014

Mina Kursgrupper
MV Kurser

00:00

Dela

/ Provpass 5 – Verbal del (HPVAR2014P5)

Repetition av Trigonometri

Name: Repetition av Trigonometri , (Matte 4) - Eddler
Brand: Eddler
Rating: 2.88 (8 reviews)

Författare:Simon Rybrand

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Enhetscirkeln
Trigonometriska ekvationer
Areasatssen, sinussatsen och cosinussatsen
Kommentarer

Denna lektion är en repetition av trigonometrin från Matematik 3c för dig som läser Matematik 4. Vi repeterar kort innehållet från lektionerna sin, cos och tan, enhetscirkeln, trigonometriska ekvationer, areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen. Följ länkarna för att repetera respektive område djupare.

Samband i rätvinkliga trianglar

För rätvinkliga trianglar gäller följande samband.

$\sin v=$ sinv= $\frac{a}{c}=\frac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}$ ac =Motstående katetHypotenusa

$\cos v=$ cosv= $\frac{b}{c}=\frac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}$ bc =Närliggande katetHypotenusa

$\tan v=$ tanv= $\frac{a}{b}=\frac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}$ ab =Motstående katetNärliggande katet

Enhetscirkeln

Med hjälp av en enhetscirkel utvidgar vi de trigonometriska sambanden $\sin v$ sinv, $\text{ }\cos v$ cosv och $\tan v$ tanv till att gälla för alla vinklar $v$ v. Enhetscirkeln är mycket användbar för att ta fram nya samband och formler.

Med hjälp av enhetscirkeln kan ett antal samband tas fram. Dessa samband kommer du ha stor nytta av när du i Matematik 4 jobbar med trigonometriska ekvationer och formler.

Sammanfattning av samband

På enhetscirkeln gäller följande.

$\sin v=y$ sinv=y

$\cos v=x$ cosv=x

$\tan v=$ tanv= $\frac{\sin v}{\cos v}$ sinvcosv , där $\cos v\ne0$ cosv≠0

$\sin\left(180^{\circ}-v\right)=\sin v$ sin(180^∘−v)=sinv

$\cos\left(180^{\circ}-v\right)=-\cos v$ cos(180^∘−v)=−cosv

Exempel 1

En punkt $P$ P på enhetscirkeln har koordinaterna $\left(0,6;\text{ }0,8\right)$ (0,6; 0,8)

Bestäm värdet för $\sin v$ sinv, $\cos v$ cosv, $\tan v$ tanv och vinkeln $v$ v med en decimals noggrannhet.

Lösning

Vi vet att punkten $P$ P s koordinater är $(0,6;\text{ }0,8)$ (0,6; 0,8) och samtidigt vet vi att alla punkter på enhetscirkeln har koordinaterna $(\cos v,\text{ }\sin v)$ (cosv, sinv).

Vi kan därmed avgöra att

$\sin v=0,8$ sinv=0,8

$\cos v=0,6$ cosv=0,6

Därefter kan vi bestämma $\tan v$ tanv genom

$\tan v=$ tanv= $\frac{\sin v}{\cos v}=\frac{0,8}{0,6}\approx$ sinvcosv =0,80,6 ≈ $1,3$ 1,3

Slutligen bestämmer vi vinkeln $v$ v genom

$\sin v=0,8$ sinv=0,8

$v=\sin^{-1}\left(0,8\right)$ v=sin⁻¹(0,8)

$v\approx53,1^{\circ}$ v≈53,1^∘

Trigonometriska ekvationer

En trigonometrisk ekvation är en ekvation som innehåller de trigonometriska sambanden, exempelvis $\sin$ sin, $\cos$ cos och $\tan$ tan. För att exempelvis lösa ekvationer med sinus så används $\arcsin$ arcsin eller $\sin^{-1}$ sin⁻¹ (sinusinvers). På samma sätt används $\arccos$ arccos eller $\cos^{-1}$ cos⁻¹ (cosinusinvers) för ekvationer med cosinus och $\arctan$ arctan eller $\tan^{-1}$ tan⁻¹ (tangensinvers) för ekvationer med tangens.

För att fullständigt lösa dessa ekvationer så använder vi vår förståelse av enhetscirkeln.

Allmän lösning för sinus

$\sin v=a$ sinv=a där $-1\le a\le1$ −1≤a≤1

Alla lösningar ges av

$v=\sin^{-1}a+n\cdot360°$ v=sin⁻¹a+n·360° , $n$ n är ett heltal

eller

$v=180°-\sin^{-1}a+n\cdot360°$ v=180°−sin⁻¹a+n·360° , $n$ n är ett heltal

Vi tittar på ett exempel.

Exempel 2

För vilka vinklar i intervallet $0^{\circ}\le x\le180^{\circ}$ 0^∘≤x≤180^∘ gäller att $2\sin x=0,6$ 2sinx=0,6 ?

Lösning

$2\sin x=0,6$ 2sinx=0,6 dividera både led med $2$ 2

$\sin x=0,3$ sinx=0,3 ta sinusinversen i båda led

$x=\sin^{-1}0,3$ x=sin⁻¹0,3

$x\approx17,5^{\circ}$ x≈17,5^∘

Alla lösningar ges av

$x=17,5^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$ x=17,5^∘+n·360^∘

och

$x=180^{\circ}-17,5^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$ x=180^∘−17,5^∘+n·360^∘

$x=162,5^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$ x=162,5^∘+n·360^∘

där $n$ n är ett heltal.

Här söktes dock endast lösningarna i intervallet $0^{\circ}\le x\le180^{\circ}$ 0^∘≤x≤180^∘ vilket ger oss lösningarna

$x_1=17,5^{\circ}$ x₁=17,5^∘ och $x_2=162,5^{\circ}$ x₂=162,5^∘

Allmän lösning för cosinus

$\cos v=a$ cosv=a där $-1\le a\le1$ −1≤a≤1

Alla lösningar ges av

$v=\pm\cos^{-1}a+n\cdot360°$ v=±cos⁻¹a+n·360° , $n$ n är ett heltal

Exempel 3

Lös ekvationen $\cos x=0,7$ cosx=0,7 fullständigt och svara med en decimals noggrannhet.

Lösning

$\cos x=0,7$ cosx=0,7 ta cosinusinversen i båda led

$x=\pm\cos^{-1}0,7+n\cdot360^{\circ}$ x=±cos⁻¹0,7+n·360^∘ där $n$ n är ett heltal.

$x\approx\pm45,6^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$ x≈±45,6^∘+n·360^∘

Areasatssen, sinussatsen och cosinussatsen

De tre triangelsatserna areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen beskrever förhållanden mellan vinklar och siffror i godtyckliga trianglar. Med hjälp av dessa kan du ta reda på okända vinklar, sidor eller areor.

Areasatsen

För en triangel $ABC$ ABC ges arean av följande kvot.

$\text{Area}=$ Area= $\frac{a\text{ }b\text{ }\sin C}{2}$ a b sinC2

där $C$ C är mellanliggande vinkel för sidorna $a$ a och $b$ b

Då det finns tre vinklar i samma triangel gäller så klart att likhet råden mellan följande tre kvoter, eftersom att de alla motsvarar samma triangels area.

$\frac{a\text{ }b\cdot\sin C}{2}=\frac{b\text{ }c\cdot\sin A}{2}=\frac{a\text{ }c\cdot\sin B}{2}$ a b·sinC2 =b c·sinA2 =a c·sinB2

Sinussatsen

För en triangel $ABC$ ABC gäller att

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$ sinAa =sinBb =sinCc

där sidan $a$ a är motstående vinkeln $A$ A, sidan $b$ b motstående vinkeln $B$ B och sidan $c$ c motstående vinkel $C$ C.

Cosinussatsen

För en triangel $ABC$ ABC gäller att

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos C$ c²=a²+b²−2·a·b·cosC

där sidan $a$ a är motstående vinkeln $A$ A, sidan $b$ b motstående vinkeln $B$ B och sidan $c$ c motstående vinkel $C$ C.

Nästa lektion: LÄS – Svensk läsförståelse

Kommentarer

TrÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Â ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã¢â€žÂ¢ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã…Â¡ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Å¡Ãƒâ€šÃ‚Â¤na mer

E
0/11
C
0/16
A
0/3

TotalpoÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Â ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã¢â€žÂ¢ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã…Â¡ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Å¡Ãƒâ€šÃ‚Â¤ng

0/30

e-uppgifter (9)

1.
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Beräkna vinkeln $v$ v.

Svara med en decimals noggrannhet.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $v\approx64,2^{\circ}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Korrekt svar. ( $v=64,2^{\circ}$ )

Rättad
Förkunskap: Sin, cos och tan
Rättar...
2.
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Beräkna sidan $a$ a i triangeln.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $a=3$ l.e
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Korrekt svar. ( $a=3$ l.e)

Rättad
Förkunskap: Sin, cos och tan
Rättar...
3.
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Bestäm $\cos v$ cosv om punkten $P$ P har koordinaterna $\left(-0,34;\text{ }0,94\right)$ (−0,34; 0,94)
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $-0,34$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar $\left(-0,34\right)$

Rättad
Förkunskap: Enhetscirkeln
Rättar...

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Bestäm $\tan v$ tanv om punkten $P$ P har koordinaterna $\left(0,47;\text{ }0,88\right)$ (0,47; 0,88). Svara med en decimals noggrannhet.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $1,9$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar $\left(1,9\right)$

Rättad
Förkunskap: Enhetscirkeln
Rättar...
5. Premium
(2/0/0)
E C A

B

P

PL 2

M

R

K

Triangeln $ABC$ ABC har har sidorna $AB=12$ AB=12 och $AC=10$ AC=10 . Dess area är $35\text{ }cm^2$ 35 cm². Bestäm vinkeln $A$ A.

Svara i hela grader.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $36^{\circ}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_PL Godtagbar ansats, t ex tecknar $35=\frac{10\cdot12\cdot\sin A}{2}$
+1 e_PL med i övrigt godtagbar lösning med godtagbart svar $\left(A=36^{\circ}\right)$

Rättad
Förkunskap: Areasatsen
Rättar...
6. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Ange alla lösningar till $\cos x=-0,2$ cosx=−0,2 i intervallet $0^{\circ}\le x\le180^{\circ}$ 0^∘≤x≤180^∘

Avrunda svaret till en decimals noggrannhet.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $x=101,5^{\circ}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Korrekt svar $\left(x=101,5^{\circ}\right)$

Rättad
Förkunskap: Trigonometriska ekvationer
Rättar...
7. Premium
(1/0/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K

Ange den andra vinkeln i intervallet $0<v<360°$ som har samma $y$ -värde som punkten $P$ .
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $v=150$ °
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Korrekt svar. ( $150^{\circ}$ )

Rättad
Förkunskap: Enhetscirkeln
Rättar...
8. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K
M

Ange alla lösningar till $\cos x=0,36$ cosx=0,36.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $x=\pm68,9+n\cdot360^{\circ}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Korrekt svar $(x=\pm68,9+n\cdot360^{\circ})$

Rättad
Förkunskap: Trigonometriska ekvationer
Rättar...
9. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K
M

Lös ekvationen $4\sin v=2$ 4sinv=2 fullständigt.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $v=30^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$ och $v=150^{\circ}-n\cdot360^{\circ}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P korrekt svar ( $v=30^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$ och $v=150^{\circ}-n\cdot360^{\circ}$ )

Rättad
Förkunskap: Trigonometriska ekvationer
Rättar...

c-uppgifter (7)

10. Premium
(0/2/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R 1

K

Lös denna uppgift utan räknare!

Lös ekvationen $\cos\left(120^{\circ}\right)=-\cos x$ cos(120^∘)=−cosx

då $0\le x\le180^{\circ}$ 0≤x≤180^∘
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $x=60^{\circ}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_B Korrekt svar $\left(x=60^{\circ}\right)$
+1 c_R Godtagbart resonemang som leder till korrekt svar

Rättad
Förkunskap: Enhetscirkeln
Rättar...
11. Premium
(0/2/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R 1

K
M

Lös denna uppgift utan räknare!

Lös ekvationen $\sin x=\sin62^{\circ}$ sinx=sin62^∘

då $0\le x\le180^{\circ}$ 0≤x≤180^∘
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $x=62^{\circ}$ och $x=118^{\circ}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_B Korrekt svar ( $x=62^{\circ}$ och $x=118^{\circ}$ )
+1 c_R Godtagbart resonemang som leder till korrekt svar

Rättad
Förkunskap: Enhetscirkeln
Rättar...
12. Premium
(0/1/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Bestäm $\tan u$ tanu då $\tan v=$ tanv= $\frac{7}{11}$ 711

Ange exakt svar.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $\tan u=\frac{11}{7}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_P Korrekt svar. ( $\tan u=\frac{11}{7}$ )

Rättad
Förkunskap: Sin, cos och tan
Rättar...
13. Premium
(0/2/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R 1

K

Punkten $Q$ Q ligger i tredje kvadranten.

Bestäm $Q$ Q s $y$ y-koordinat, då $\cos v=-\sin w$ cosv=−sinw.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Punkten $Q$ s $y$ -koordinat är lika med $-0,5$ .
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_B Korrekt svar.
+1 c_R Godtagbart resonemang som leder till korrekt svar. ( $-0,5$ )

Rättad
Förkunskap: Enhetscirkeln
Rättar...
14. Premium
(0/3/0)
E C A

B

P

PL 2

M

R

K 1
NP

Anton och Anya vill veta avståndet mellan två platser, A och B, i skogen. Mellan dessa platser är det besvärligt att ta sig fram. Det är därför svårt för dem att mäta upp avståndet direkt.

Istället väljer de ut två platser C och D som tillsammans med B ligger längs samma linje. Sedan mäter Anton och Anya upp sträckorna AC, AD, BD och CD, se figur. Figuren är inte skalenlig.

Beräkna avståndet mellan A och B.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $180$ m
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_PL Godtagbar ansats, t.ex. tecknar ekvationen $90^2=70^2+110^2-2\cdot70\cdot110\ \cos v$ och bestämmer vinkeln, $v\approx54,7^{\circ}$
+1 c_PL med i övrigt godtagbar lösning med godtagbart svar ( $180$ m)
+1 c_K Lösningen kommuniceras på C-nivå, se de allmänna kraven för NP. För denna uppgift kan matematiska symboler och representationer vara $=,\ \approx,\cos v|\approx0,578,\ v\approx54,7^{\circ}$ , symbol för vinkel, termer såsom avstånd, sträcka, vinkel, triangel, figur med införda beteckningar, hänvisning till cosinussatsen, sinussatsen, sidovinklar, vinkelsumma i en triangel samt angivna enheter etc.

Rättad
Förkunskap: Cosinussatsen
Rättar...
15. Premium
(0/1/0)
E C A

B 1

P

PL

M

R

K
M

Ange koordinaterna till punkten $M$ M om punkten $P$ P har koordinaterna $\left(-a,\text{ }b\right)$ (−a, b)
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $M=\left(b,\ a\right)$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_B Korrekt svar $\left(M=\left(b,\ a\right)\right)$

Rättad
Förkunskap: Enhetscirkeln
Rättar...
16. Premium
(0/3/0)
E C A

B

P

PL 2

M

R

K 1
NP

Figuren visar triangeln $ABC$ ABC där en punkt $D$ D är markerad på sidan $AC$ AC. Några mått och vinklar finns givna i figuren.

Bestäm längden av sträckan $BD$ BD genom att använda någon eller några av triangelsatserna (sinussatsen, cosinussatsen och areasatsen).
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $11\ cm$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_PL Godtagbar ansats, t.ex. bestämmer vinkeln ABC och beräknar sidan AB
+1 c_PL med i övrigt godtagbar lösning med godtagbart svar $\ \left(11\ cm\right)$
+1 c_K Lösningen kommuniceras på C-nivå

Rättad
Förkunskap: Sinussatsen Cosinussatsen
Rättar...

a-uppgifter (2)

17. Premium
(0/0/1)
E C A

B

P

PL 1

M

R

K
M NP

Figuren visar en enhetscirkel som tangeras av en linje $L$ L som är parallell med y-axeln. På linjen $L$ L ligger en punkt $Q$ Q som har y-koordinaten $t$ t. Sträckan mellan origo och punkten $Q$ Q bildar vinkeln $v$ v med x-axeln.

För vinkeln $v$ v gäller att $0° < v < 90°$

Bestäm $\cos v$ cosv uttryckt i $t$ t.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $\cos v=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 a_PL Korrekt svar $\left(\cos v=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)$

Rättad
Förkunskap: Enhetscirkeln
Rättar...

18. Premium

(1/2/2)

	E	C	A
B
P
PL	1	2
M
R			1
K			1

Armand arbetar som silversmed och hans specialitet är smycken i form av olika geometriska figurer. Han har bestämt sig för att göra ett smycke i form av en triangel. Till sitt förfogande har han en $9,0$ 9,0 cm lång silvertråd som han kan böja och klippa.

Armand betecknar triangeln $ABC$ ABC och bestämmer sig för att vinkeln $A$ A ska vara $30^{\circ}$ 30^∘, sidan $AB$ AB $4,2$ 4,2 cm och sidan $BC$ BC $3,2$ 3,2 cm.

Utred på vilket eller vilka sätt smycket kan utformas.

Vilka möjliga längder kan sidan $AC$ AC anta?

Avrunda till en decimals noggrannhet.

Svar:

Ditt svar:

Rätt svar:

1,2

()

Bedömningsanvisningar/Manuell rättning

+1 e_PL Godtagbar ansats, t ex bestämmer vinkeln C med sinussatsen till $41^{\circ}$ eller ställer upp en ekvation med sosinussatsen för bestämning av sidan AC.
+1 c_PL med godtagbar beräkning av en vinkel och sida.
+1 c_PL med godtagbar beräkning båda lösningarna till ekvationen ( $C=139^{\circ}$ , $1,2$ cm och $C=41^{\circ}$ , $6,1$ cm )
+1 a_K Redovisa välstrukturerat och tydligt med ett i huvudsak korrekt matematiskt språk.
+1 a_R dra slutsatsen att omkretsen av triangeln blir för stor i det ena fallet ( $6,1$ cm) men att tråden räcker i det andra fallet ( $1,2$ cm).
Rättad

Se mer: När sinussatsen ger två fall (lösningar)

Nästa lektion: LÄS – Svensk läsförståelse

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

Eddler AB
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
info@eddler.se

Säker SSL-server

Vad ÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Â ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã¢â€žÂ¢ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã‚Â ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¾Ã‚Â¢ÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬Ãƒâ€¦Ã‚Â¡ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã…Â¡ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Å¡Ãƒâ€šÃ‚Â¤r detta?

HÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Â ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã¢â€žÂ¢ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã‚Â ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¾Ã‚Â¢ÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬Ãƒâ€¦Ã‚Â¡ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã…Â¡ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Å¡Ãƒâ€šÃ‚Â¤r hittar du matematiska symboler som kan anvÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Â ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã¢â€žÂ¢ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã‚Â ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¾Ã‚Â¢ÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬Ãƒâ€¦Ã‚Â¡ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã…Â¡ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Å¡Ãƒâ€šÃ‚Â¤ndas nÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Â ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã¢â€žÂ¢ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã‚Â ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¾Ã‚Â¢ÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬Ãƒâ€¦Ã‚Â¡ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã…Â¡ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Å¡Ãƒâ€šÃ‚Â¤r du stÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Â ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã¢â€žÂ¢ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã‚Â ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¾Ã‚Â¢ÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬Ãƒâ€¦Ã‚Â¡ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã…Â¡ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Å¡Ãƒâ€šÃ‚Â¤ller frÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Â ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã¢â€žÂ¢ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã‚Â ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¾Ã‚Â¢ÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬Ãƒâ€¦Ã‚Â¡ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã…Â¡ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Å¡Ãƒâ€šÃ‚Â¥gor pÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Â ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã¢â€žÂ¢ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã‚Â ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¾Ã‚Â¢ÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬Ãƒâ€¦Ã‚Â¡ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã…Â¡ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Å¡Ãƒâ€šÃ‚Â¥ forumet eller kommenterar. NÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Â ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã¢â€žÂ¢ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã‚Â ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¾Ã‚Â¢ÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬Ãƒâ€¦Ã‚Â¡ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã…Â¡ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Å¡Ãƒâ€šÃ‚Â¤r du klickar pÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Â ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã¢â€žÂ¢ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã‚Â ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¾Ã‚Â¢ÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬Ãƒâ€¦Ã‚Â¡ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã…Â¡ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Å¡Ãƒâ€šÃ‚Â¥ symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med hÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Â ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã¢â€žÂ¢ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã‚Â ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¾Ã‚Â¢ÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬Ãƒâ€¦Ã‚Â¡ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã…Â¡ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Å¡Ãƒâ€šÃ‚Â¶ger musknapp eller anvÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Â ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã¢â€žÂ¢ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã‚Â ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¾Ã‚Â¢ÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬Ãƒâ€¦Ã‚Â¡ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã…Â¡ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Å¡Ãƒâ€šÃ‚Â¤nda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)

FÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Â ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã¢â€žÂ¢ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã‚Â ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¾Ã‚Â¢ÃƒÆ’Ã†â€™Ãƒâ€ Ã¢â‚¬â„¢ÃƒÆ’Ã‚Â¢ÃƒÂ¢Ã¢â‚¬Å¡Ã‚Â¬Ãƒâ€¦Ã‚Â¡ÃƒÆ’Ã†â€™ÃƒÂ¢Ã¢â€šÂ¬Ã…Â¡ÃƒÆ’Ã¢â‚¬Å¡Ãƒâ€šÃ‚Â¶rhandsvisning Latex:

Latexkod:

Högskoleprovet Vår 2014

Välj kurs

KURSER /

Högskoleprovet Vår 2014

/ Provpass 5 – Verbal del (HPVAR2014P5)

Repetition av Trigonometri

Författare:Simon Rybrand

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Samband i rätvinkliga trianglar

Enhetscirkeln

Sammanfattning av samband

Exempel 1

Lösning

Trigonometriska ekvationer

Allmän lösning för sinus

Exempel 2

Lösning

Allmän lösning för cosinus

Exempel 3

Lösning

Areasatssen, sinussatsen och cosinussatsen

Areasatsen

Sinussatsen

Cosinussatsen

Kommentarer

Endast Premium-användare kan kommentera.

1.

2.

3.

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium

5. Premium

6. Premium

7. Premium

8. Premium

9. Premium

10. Premium

11. Premium

12. Premium

13. Premium

14. Premium

15. Premium

16. Premium

17. Premium

18. Premium

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

LADDAR DOKUMENT...

LADDAR GEOGEBRA...