00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik Högstadiet
/  Procent
Derivata

Tangent och Sekant

Författare:Simon Rybrand Anna Karp
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

En tangent är en rät linje som tangerar en kurva i en punkt. Tangentens lutning kan tolkas som förändringshastigheten i en punkt.

Sekanten skär istället kurvan i två eller fler punkter. Sekantens lutning kan tolkas som den genomsnittliga förändringshastigheten i ett intervall.

Tangentens definition

En tangent är en rät linje som tangerar kurvan i en punkt. Ordet tangerar kan förklaras med betydelsen snuddar vid eller tuschar. Man säger att tangenten tangerar kurvan i punkten.

Tangent

Tangentens lutning kan tolkas som förändringshastigheten i en punkt. Lutningen ger oss ett mått på vilken slags förändring och hur stor eller liten den är i just en punkt, det som kallas för Derivatan. Vi kommer i en senare lektion gå igenom hur.

Ett vanligt missförstånd om man säger att tangenten ”skär” kurvan är, att man tror att tangenten kan ”gå rätt igenom” kurvan. Det är inte det man menar. Tangenten går inte igenom kurvan i tangeringspunkten utan snuddar endast vid kurvan. 

En matematisk definition av en tangent i en deriverbar punkt  x=ax=ax=a är följande.

Tangenten för ffƒ  i punkten  x=ax=ax=a  är den räta linjen som har lutningen f′(a)f'\left(a\right)ƒ ´(a)  och som går genom (a, f(a))\left(a,\text{ }f\left(a\right)\right)(a, ƒ (a)).

Skrivsättet  f′(a)f'\left(a\right)ƒ ´(a)  motsvarar derivatan i punkten x=ax=ax=a. Mer om det i lektionen om derivatans definition. 

Sekantens definition

En sekant är en rät linje som skär två eller fler punkter på en kurva. En sekants lutning kan tolkas som den genomsnittliga förändringshastigheten i ett intervall, ofta ett tidsintervall.

Sekant definition

En matematisk definition av en sekant är följande.

En sekant är en linje som går genom två punkter på en graf.

Om ffƒ  är definierad på intervallet a≤a\lea≤x≤bx\le bx≤b kallas kvoten  f(b)−f(a)b−a\frac{f(b)-f(a)}{b-a}ƒ (b)−ƒ (a)b−a   för en differenskvot och ger lutningen för sekanten genom (a, f(a))\left(a,\text{ }f\left(a\right)\right)(a, ƒ (a)) och (b, f(b))\left(b,\text{ }f\left(b\right)\right)(b, ƒ (b)). Sekantens lutning motsvarar det man kallar för medellutningen för grafen i intervallet.

Omatematisk förklaring av tangenten

För vissa hjälper förståelsen av vad en tangent är, att tänka tangenten som en linjal som ska balanseras på kurvan i en punkt. För andra kan bilden av en laserstråle som tuschar en diskokula i en enda punkt så att strålen inte bryts utan fortsätter i samma riktning, vara till hjälp för förståelsen.

Bestäm derivatans värde med tangenten

Vi kommer i kommande lektioner gå igenom definitionen på derivatan, men för nu kan vi bara försöka acceptera att

Derivatans värde är detsamma som tangentens lutning i en punkt. 

Utifrån detta kan vi beräkna derivatan genom att bestämma tangentens lutning.

Du kan genom att förflytta punkten AAA längst kurvan se hur tangentens lutning, och där med även derivatans värde, förändras. Lägg gärna på minnet för vilka punkter derivatan är lika med noll. För de punkterna kommer vi fokusera lite extra på i denna kurs.

Välj Funktion

Visualisera Derivata och tangentens lutning

Dra i punkt A för att flytta tangenten utmed grafen.
1234567−1−2−3−4−5−6−70123456−1−2−3−4−5−6
y
x
f´(x) = k = 0,33

Exempel 1

a) Vilken eller vilka av linjerna är en sekant?

b) Vilken eller vilka av linjerna är en tangent?

Lösning

a) En sekant skär grafen i flera punkter. Detta stämmer in på linje AAA och CCC.

b) En tangent tangerar grafen i endast en punkt. Detta stämmer in på linje  BBB. 

Exempel 2

Bestäm derivatan i punkten där  x=2x=2x=2 

Kurva med tangent 

Lösning

Genom att bestämma tangentens lutning i den punkt där x=2x=2x=2 kan vi bestämma värdet på derivatan när  x=2x=2x=2, eftersom att de har samma värde.

Tangent och derivata

Vi ser att tangentens riktningskoefficient är  k=k=k=  △y△x=y2−y1x2−x1\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}△y△x =y2−y1x2−x1   =3−(−1)4−0=44=\frac{3-\left(-1\right)}{4-0}=\frac{4}{4}=3−(−1)4−0 =44   =1=1=1 

Vi får då att även derivatans värde när x=2x=2x=2 har värdet  111.

Sambandet mellan derivatan, tangenten och sekanten

Vi kommer att röra oss mellan dessa två, sekanten och tangenten, för att definiera derivatan i kommande lektioner. Men först måste vi även introducera ett nytt begrepp, gränsvärde. Det är med hjälp av ett gränsvärde vi kommer att kunna göra beräkningar på sekantens lutning i ett oändligt litet intervall, så litet att vi låter det motsvara värdet av tangentens lutning i en av sekantens skärningspunkter. Men mer om detta i kommande lektioner.

Exempel i videon

  • Exempel på en sekant och tangent och vad som karaktäriserar dessa.
  • Exempel på vad som händer när en sekant förändras mot att bli en tangent.
Nästa lektion: Räkna ut det hela

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server