00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2
ABC
/  Andragradsfunktioner
Andragradsfunktioner

Största och minsta värde

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Andragradsfunktionens största och minsta värde motsvarar alltid det största och minsta y-värdet för funktionen. Dessa värden kallas för extremvärden.

I grafen till vänster är funktionens extremvärde ett minsta värde och hittas där $x=-2$x=−2. Man säger att funktionens minsta värdet är $y=1$y=1. 

I grafen till höger är extremvärdet ett största värdet och hittas där  $x=-1$x=−1 och  $y=3$y=3. Man säger att det största värdet är $y=3$y=3.

Till den vänstra funktion finns inget definierat största värde och till den högra inget minsta värde, då funktionerna fortsätter i oändligheten uppåt respektive neråt och det för varje angivet värde finns ännu ett större eller mindre värde. Man säger att den vänstra funktionen saknar ett minsta värde. Den högra saknar ett störat värde.

Exempel 1

Figuren visar grafen till en andragradsfunktion.

Ange funktionens största och minsta värdet.

Lösning

Vi ser att grafen har en maximipunkt så här har vi ett största värde.

Maximipunkten har koordinaterna $\left(-2,\text{ }3\right)$(−2, 3)  så funktionens största värdet är  $y=3$y=3 .

Då parabeln är öppen neråt har vi inte något definierat minsta värde.

Största och minsta värde för Andragradsfunktioner

Detta värde hittas vanligen i andragradsfunktionens vertex, det vill säga maximi- eller minimipunkt. Det är alltså extrempunktens tillhörande yyy-värde som motsvarar det största eller minsta värdet för andragradsfunktionen.

Funktionsvärdet  f(a)f\left(a\right)ƒ (a) i extrempunkten x=ax=ax=a  kallas extremvärdet. 

Eftersom symmetrilinjen alltid går genom vertex, så innebär det att den alltid går genom punkten på grafen som har det största eller minsta funktionsvärdet.

Vertex koordinater är alltid (xs, f(xs))\left(x_s,\text{ }f\left(x_s\right)\right)(xs, ƒ (xs)) där  xsx_sxs är symmetrilinjens ekvation och  f(xs)f\left(x_s\right)ƒ (xs) funktionens extremvärde.

Det kan vara bra att känna till att det största/minsta värdet inte alltid återfinns i vertex. Till exempel inträffar detta då funktionen är avgränsad i sin definitionsmängd eller värdemängd i ett visst intervall. Då kan ett största eller minsta värde helt saknas eller finnas i ett intervalls ändpunkt. Men mer om detta i kursen Matematik 3.

Viktiga begrepp kring funktionsvärden

Minimipunkt
Punkt där funktionen inte antar några mindre värden i området kring punkten.

Maximipunkt
Punkt där funktionen inte antar några större värden i området kring punkten.

Vertex
Samlingsnamn för maximipunkt eller minimipunkt för just andragradsfunktioner.

Extrempunkt
Samlingsnamn för maximipunkt eller minimipunkt för alla funktioner.

Minimum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några mindre värden i närheten.

Maximum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några större värden i närheten.

Extremvärde
Samlingsnamn för maximum eller minimum.

Exempel på att hitta största och minsta värde

Det är vanligt att man söker funktions extremvärden som alltid är ett värde f(a)f\left(a\right)ƒ (a) och extrempunkter som anges som något värde x=ax=ax=a i definitionsmängden.

Exempel 2

Bestäm största eller minsta värdet till funktionen f(x)=−x2+4x+5f\left(x\right)=-x^2+4x+5ƒ (x)=−x2+4x+5.

Lösning

Denna funktion har en maximipunkt då det är en negativ x2x^2x2-term i funktionsuttrycket.

Vi kan söka symmetrilinjens ekvation för att ta reda på yyy -värdet i denna maximipunkt och då tar vi första reda på nollställena.

Nollställena ges av pq-formeln.

 −x2+4x+5=0-x^2+4x+5=0−x2+4x+5=0               dividera båda led med −1-1−1 

 x2−4x−5=0x^2-4x-5=0x2−4x−5=0                   sätt in värden i PQ-formeln

 x=x=x=  −−42±(−42)2−(−5)-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(-\frac{4}{2}\right)^2-\left(-5\right)}−−42 ±√(−42 )2−(−5)       beräkna

 x=2±4+5x=2\pm\sqrt{4+5}x=2±√4+5 

 x=2±3x=2\pm3x=2±3 

Vi har nollställen i  x1=−1x_1=-1x1=−1och  x2=5x_2=5x2=5  så symmetrilinjens ekvation är  xs=x_s=xs=−1+52=42=\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=−1+52 =42 =222

Det största värdet ges av f(2)=−22+4⋅2+5=9f\left(2\right)=-2^2+4\cdot2+5=9ƒ (2)=−22+4·2+5=9

Det största värdet är y=9y=9y=9

Självklart kan du lika gärna använda kunskapen att xs=x_s=xs=  −p2-\frac{p}{2}−p2  där ppp motsvarar förstagradstermens koefficient i PQ formen eller om andragradsfunktionen står på formen f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^2+bx+cƒ (x)=ax2+bx+c  att xs=x_s=xs= −b2a-\frac{b}{2a}−b2a  och då slippa bestämma nollställena först för att sedan bestämma symmetrilinjen och få samma resultat. Se hur detta hänger ihop här.

Exempel i videon

  1. Bestäm största eller minsta värde för  f(x)=x2−2x−8f\left(x\right)=x^2-2x-8ƒ (x)=x2−2x−8
  2. Bestäm största eller minsta värde för  f(x)=−x2−4x+12f\left(x\right)=-x^2-4x+12ƒ (x)=−x2−4x+12
Nästa lektion: Ange andragradsfunktionen utifrån nollställen och en punkt

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server