Nationellt prov Matematik 2b vt 2016 DEL B och C

En rät linje har ekvationen  $y=3x+2$y=3x+2 

a) Ange koordinaterna för en punkt som ligger på linjen.

b) Ange ekvationen för en annan rät linje som är parallell med linjen  $y=3x+2$y=3x+2 

Figuren nedan visar triangeln $ABC$ABC som är inskriven i en cirkel med medelpunkten $M$M.

a) Bestäm vinkeln $x$x.

b) Bestäm vinkeln $y$y.

Ekvationen  $x^2+25=0$x²+25=0  har två lösningar. Ange dessa. 

Komplexa tal ingår inte längre i kursen Ma2.

Måns, Adam och Olle gör en statistisk undersökning där de frågar sina  $27$27  klasskamrater: ”Hur många appar har du installerat i din telefon?” Resultatet av de  $27$27  svaren redovisar de i lådagrammet nedan.

a) Bestäm kvartilavståndet.

Endast en klasskamrat hade installerat exakt  $38$38  appar.

b) Hur många klasskamrater hade installerat mer än  $38$38  appar?

Nedan visas sex spridningsdiagram A–F.

a) Vilket spridningsdiagram A–F har den starkaste korrelationen mellan variablerna $x$x och $y$y?

b) Vilka två av spridningsdiagrammen A–F har korrelationskoefficienten $r=0$r=0?

Lös ekvationerna. Svara exakt.

a)  $5^x=3$5^x=3

b)  $\left(1+\frac{x}{100}\right)^{\frac{1}{3}}=$(1+x100 )¹³ =$2$2 

Figuren visar en del av grafen till en andragradsfunktion  $f$ƒ , där  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x).

a) Ange funktionens nollställen.

b) Bestäm  $f\left(11\right)$ƒ (11).

c) Lös ekvationen  $f\left(x+1\right)=-1$ƒ (x+1)=−1 

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

 $\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x-1}\right)\left(\sqrt{2x+1}-\sqrt{2x-1}\right)$(√2x+1+√2x−1)(√2x+1−√2x−1) 

Det finns oändligt många linjer  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x)  som skär $x$x-axeln då $x=4$x=4.
Det går att bilda andragradsfunktioner $g$g sådana att $g\left(x\right)=x\cdot f\left(x\right)$g(x)=x·ƒ (x). 
Graferna till samtliga sådana andragradsfunktioner $g$g går genom två gemensamma punkter.

Ange koordinaterna för de två gemensamma punkterna.

Karin har fått i uppgift att lösa ekvationssystemet $\begin{cases} 3x+2y=14 \\ 2x-y=7 \end{cases}$

Hon börjar med att lösa ut  $y$y  ur båda ekvationerna och skriver om ekvationssystemet till:

a) Har Karin löst ut  $y$y  på ett korrekt sätt ur de båda ekvationerna? Motivera ditt svar.

b) Lös ekvationssystemet  $\begin{cases} 3x+2y=14 \\ 2x-y=7 \end{cases}$  med algebraisk metod.

Lös ekvationerna med algebraisk metod. Svara exakt.

a)  $x^2-8x+7=0$x²−8x+7=0 

b)  $\left(x-4\right)^2=2\left(x-4\right)$(x−4)²=2(x−4) 

c)  $\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{x}$(18 )¹³ +(18 )¹³ +(18 )¹³ +(18 )¹³ =1x 

Figuren nedan visar en rät linje som går genom punkten $P\left(3,\text{ }4\right)$P(3, 4). Linjen skär den positiva $y$y-axeln i en punkt $A$A. Avståndet mellan origo och punkten $A$A är lika stort som avståndet mellan origo och punkten $P$P.

Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna $A$A och $P$P.

En funktion  $f$ƒ   kan skrivas på formen  $f\left(x\right)=kx+m$ƒ (x)=kx+m  där  $k$k  och  $m$m  är konstanter. Undersök vilka värden  $k$k  och  $m$m  kan ha för att likheten  $f\left(a+b\right)=f\left(a\right)+f\left(b\right)$ƒ (a+b)=ƒ (a)+ƒ (b)  ska gälla för alla värden på  $a$a  och  $b$b.

a) Lös ekvationen och svara exakt.

 $100^x=10^{1+\lg50}$100^x=10^1+lg50

b) I vilket av följande intervall A–F finns lösningen till ekvationen  $100^x=10^{1+\lg50}$100^x=10^1+lg50? Motivera ditt svar.

A.  $-1\le x$−1≤x $<-0,5$<−0,5 

B.  $-0,5\le x$−0,5≤x $<0$<0 

C.  $0\le x$0≤x $<0,5$<0,5 

D.  $0,5\le x$0,5≤x $<1$<1 

E.  $1\le x$1≤x $<1,5$<1,5 

F.  $1,5\le x$1,5≤x $<2$<2