Nationellt prov Matematik 2b vt 2022 DEL D

Figuren visar en cirkel med medelpunkten $M$M. Punkterna $A,\text{ }B$A, B och $C$C ligger på cirkelns rand.

Bestäm vinkeln $v$v. Endast svar krävs.

Lös ekvationen $7^{\frac{x}{5}}=1,3$7^x5 =1,3  och svara med minst två decimaler.         Endast svar krävs.

En andragradsfunktion $f$ƒ  ges av $f\left(x\right)=3x^2+5x+7$ƒ (x)=3x²+5x+7 
Ge ett exempel på en punkt som ligger på grafen till $f$ƒ .

Endast svar krävs.

Värdetabellen visar ett antal värden på variablerna $x$x och $y$y.

Ur värdena kan ett anpassat samband på formen $y=ax+b$y=ax+b bestämmas.
Bestäm $a$a och $b$b med hjälp av linjär regression. Svara med minst två decimaler.

Endast svar krävs.

I en rätvinklig triangel $ABC$ABC är sidan $AB$AB  $5,6$5,6 cm och sidan $BC$BC  $1,8$1,8 cm.
Triangeln $DEF$DEF är likformig med triangeln $ABC$ABC. Sidan $EF$EF är dubbelt så lång som sidan $BC$BC, se figur.

Hur många gånger större är arean av triangeln $DEF$DEF än arean av triangeln $ABC$ABC?

Bilden visar byggnaden Municipal Asphalt Plant i New York.

Ytterkanten på byggnadens framsida kan beskrivas med grafen till andragradsfunktionen $f$ƒ . Funktionen $f$ƒ  ges av $f\left(x\right)=-0,14x^2+3,92x$ƒ (x)=−0,14x²+3,92x där $x$x och $f\left(x\right)$ƒ (x) har enheten meter och där $x$x -axeln är placerad på marknivå längs byggnadens framsida. Se figur.

Bestäm byggnadens bredd och höjd.

Endast svar krävs.

Tidningen Times of India släppte år 2018 nyheten att antalet tigrar i Indien mer än fördubblats sedan år 2006.

Tidningen uppgav att det fanns $1\text{ }411$1 411 tigrar i Indien år 2006 och att det fanns $2\text{ }967$2 967 tigrar år 2018. Anta att tigrarna räknades i början av år 2006 och i början av år 2018. Anta även att den årliga procentuella förändringen av antalet tigrar var lika stor under tidsperioden och att förändringen fortsätter i samma takt även efter år 2018.

Bestäm vilket år som tigrarnas antal förväntas vara $5\text{ }000$5 000.

Figuren visar fyrhörningen $PMQR$PMQR i en cirkel där $P,\text{ }Q$P, Q och $R$R ligger på cirkelns rand och $M$M är cirkelns medelpunkt. Vinklarna $a,\text{ }b$a, b och $c$c är markerade i figuren.

Visa att sambandet $a+b=c$a+b=c gäller för alla fyrhörningar $PMQR$PMQR där $P,\text{ }Q$P, Q och $R$R ligger på cirkelns rand och $M$M är cirkelns medelpunkt.

Edith och Adrian kör samma sträcka från Umeå till Hudiksvall. Adrian startar först och Edith startar när Adrian redan har kört $13$13 km. Efter ett tag kör Edith om Adrian. Adrian kör med medelhastigheten $72$72 km/h fram till omkörningen och Edith kör med medelhastigheten $81$81 km/h fram till omkörningen.

Det påbörjade ekvationssystemet kan användas för att ta reda på hur lång sträcka Edith har kört när hon kör om Adrian.

$\begin{cases} y=81x\\ … \end{cases}$

där $y$y km är sträckan fram till omkörningen. Se figur.

a) Tolka vad $x$x betyder i detta sammanhang.

När Edith kör om Adrian har de kört en tredjedel av hela sträckan.

b) Beräkna hur långt det är mellan Umeå och Hudiksvall.

För fyra personers timlöner gäller följande:

Medelvärde: $210$210 kr/h
Median: $200$200 kr/h
Variationsbredd: $80$80 kr/h

Undersök vad timlönen kan vara för den person som har den högsta timlönen.

Anta att $a,\text{ }b$a, b och $c$c är tre på varandra följande heltal där $a$a < $b$b < $c$c 

Undersök om uttrycket  $\frac{a^2+b^2+c^2-2}{3}$a²+b²+c²−23   alltid är ett heltal för alla sådana på
varandra följande heltal $a,\text{ }b$a, b och $c$c.

Funktionen $f$ƒ  ges av $f\left(x\right)=$ƒ (x)=  $\frac{x^2}{a}$x²a  där $a$a är en konstant och $a>0$a>0 
En sträcka $S$S dras från den punkt på funktionens graf där $x$x -koordinaten är $a$a till den punkt på funktionens graf där $x$x -koordinaten är $2a$2a.

Bestäm längden av sträckan $S$S uttryckt i $a$a. 

Figuren visar rektangeln $ABCD$ABCD med en punkt $P$P på sidan $BC$BC. När sträckorna $DP$DP och $AB$AB förlängs skär de varandra i punkten $Q$Q.

Bestäm $\frac{AB}{AQ}$ABAQ  om $BP=a$BP=a och $PC=3a$PC=3a.