Nationellt prov Matematik 2b vt 2015 DEL B och C

I figuren nedan ser du graferna till funktionen $f$ƒ  för några olika värden på $b$b. Grafernas maximipunkter är markerade. Då $b$b varierar följer maximipunkterna grafen till en ny andragradsfunktion $g$g, se figur. 

Bestäm andragradsfunktionen  $g$g .

Bestäm för vilka värden på $b$b som $f$ƒ  endast har ett nollställe.

$x^{\frac{1}{3}}=2$x¹³ =2

$5^x=3$5^x=3

Ange ekvationen för en annan rät linje så att den tillsammans med linjen $L$L bildar ett ekvationssystem som har sin lösning i punkten $P$P.

Ange ekvationen för den räta linjen $L$L.

Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs.

Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla. (          ) $·\left(x-5\right)=x^2-25$·(x−5)=x²−25

På tallinjen finns sex punkter $A-F$A−F markerade.

Varje tal nedan motsvaras av en markerad punkt på tallinjen.

$99^0$99⁰             $\sqrt{5}$√5            $2^{-1}$2⁻¹          $10^{\frac{1}{2}}$10¹²            $\text{lg }90$lg 90

Para ihop vart och ett av talen med en punkt på tallinjen genom att skriva bokstäverna $A-F$A−F i den ordning talen står från vänster till höger.

Två av ekvationerna  $A-E$A−E  har reella lösningar. Vilka två?

A.  $x^2+3=1$x²+3=1

B.  $x^2+6x-3=2$x²+6x−3=2

C.  $x^2=-9$x²=−9

D.  $x^2-4x+9=2$x²−4x+9=2

E.  $\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$(x−2)(x+2)=0 

Beräkna  $10^{-x}$10^−x om  $\lg x=0$lgx=0 

Under år $1998$1998 skickades $44$44 miljoner sms i Sverige. Under år $2012$2012 skickades $16\text{ }514$16 514 miljoner sms.

Anta att den årliga procentuella ökningen av antal sms per år har varit lika stor under hela tidsperioden. Beteckna den årliga förändringsfaktorn med $a$a.

Teckna en ekvation med vars hjälp $a$a kan beräknas.

För vilka värden på $x$x gäller att  $g\left(x\right)<3$g(x)<3?

För vilka värden på $x$x gäller att  $f\left(x\right)-g\left(x\right)=0$ƒ (x)−g(x)=0

$\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)^2-\left(x+3\right)}{2}$(√x+√3)²−(x+3)2  

$\frac{x^{\frac{5}{6}}\left(x^{\frac{1}{3}}+1\right)\left(x^{\frac{1}{3}}-1\right)}{x^{\frac{1}{6}}\text{ }·\text{ }x^{\frac{1}{3}}}$x⁵⁶ (x¹³ +1)(x¹³ −1)x¹⁶  · x¹³   

Delprov C: Digitala verktyg är inte tillåtna. Fullständiga lösningar krävs.

Lös andragradsekvationen  $x^2-6x+5=0$x²−6x+5=0 med algebraisk metod.

Lös ekvationssystemet $\begin{cases} y-2x=5\\ 2y-x=4  \end{cases}$ med algebraisk metod.

Figuren visar två rektanglar som har sidlängderna $x$x  cm respektive $\left(8-x\right)$(8−x) cm.

Bestäm den största totala area som de två rektanglarna kan ha tillsammans.

Förenkla uttrycket $\frac{a^2-2b}{4}$a²−2b4   så långt som möjligt om $a=2x+1$a=2x+1 och  $b=2x-1,5$b=2x−1,5

Lös ekvationen  $\frac{3}{10^x}$310^x  $=10^x$=10^x med algebraisk metod. Svara exakt.

I en rätvinklig triangel $ABC$ABC finns en blå kvadrat $AEFD$AEFD inritad. Sträckan $BE$BE är $4$4 cm och sträckan $CD$CD är $2$2 cm. Se figur.

Visa att den blå kvadratens area är $8$8 cm$^2$².

En cirkel med radien $a$a tangerar de positiva koordinataxlarna. Den tangerar även en mindre cirkel som har mittpunkten i origo. Se figur.

Visa att den mindre cirkelns radie är $a\left(\sqrt{2}-1\right)$a(√2−1) längdenheter.