Nationellt prov Matematik 3b ht 2013 del B och C

För polynomfunktionen $f$ƒ  gäller att  $f\left(x\right)=3x^4+7x^2+3$ƒ (x)=3x⁴+7x²+3 

a) Vilken grad har funktionen $f$ƒ ? 

b) Bestäm $f’\left(x\right)$ƒ ’(x) 

Ange två olika primitiva funktioner till  $f\left(x\right)=7x+4$ƒ (x)=7x+4 

Under de första sekunderna efter start kan sträckan som en bil färdas beskrivas med $s\left(t\right)=3t+t^2$s(t)=3t+t² där $s$s är sträckan i meter och $t$t är tiden i sekunder.

Bestäm bilens hastighet $v$v som funktion av tiden $t$t.

Lös ekvationen $\left(x+2\right)\left(x-3\right)\left(x+4\right)=0$(x+2)(x−3)(x+4)=0 

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

a)  $16+\left(x^3+4\right)\left(x^3-4\right)$16+(x³+4)(x³−4) 

b) $\frac{x}{\left(x+4\right)^9}$x(x+4)⁹ $+$+$\frac{4}{\left(x+4\right)^9}$4(x+4)⁹  

Figuren nedan visar grafen till en tredjegradsfunktion $f$ƒ  och en tangent som tangerar grafen i origo.

a) Bestäm derivatans nollställen. 

b) Bestäm $f’\left(0\right)$ƒ ’(0) 

c) Skissa grafen till funktionens derivata i koordinatsystemet ovan.

Den geometriska summan $2-2\cdot1,5+2\cdot1,5^2-2\cdot1,5^3+…-2\cdot1,5^{19}$2−2·1,5+2·1,5²−2·1,5³+…−2·1,5¹⁹ är lika med ett av alternativen $A-H$A−H. Vilket?

Grafen till funktionen $f$ƒ  bildar en kvartscirkel i första kvadranten.

Bestäm $\int\limits_0^4$ $f(x)\text{ }dx$ƒ (x) dx . Svara exakt.

I Hagaskolans cafeteria kostar bananer $2$2 kr per styck. Priset $P$P kr är en funktion av antalet bananer $x$x. Rita in grafen till funktionen i intervallet $1\le x\le4$1≤x≤4 i koordinatsystemet nedan.

Funktionen $f$ƒ  har derivatan $f´$ƒ ´. Figuren nedan visar grafen till $f´$ƒ ´.

Avgör vilket påstående $A-F$A−F som alltid är sant.

A.   $f\left(2\right)$ƒ (2) är positiv

B.    $f\left(2\right)-f\left(0\right)$ƒ (2)−ƒ (0) är positiv

C.    $f\left(1\right)$ƒ (1) är noll

D.    $f\left(2\right)$ƒ (2) är noll

E.     $f\left(1\right)-f\left(2\right)$ƒ (1)−ƒ (2) är positiv

F.     $f\left(0\right)-f\left(1\right)$ƒ (0)−ƒ (1) är positiv

Figurerna $A$A och $B$B nedan visar graferna till två tredjegradsfunktioner.

a) Vilken av figurerna visar grafen till en tredjegradsfunktion $f$ƒ  där $f’\left(2\right)=0$ƒ ’(2)=0?
     Motivera ditt svar.

b) Vilken av figurerna visar grafen till $f\left(x\right)=5\left(x-2\right)\left(x+2\right)^2$ƒ (x)=5(x−2)(x+2)²?
     Motivera ditt svar.

Karin ska bygga fyra rektangulära rastgårdar till sina hundar. Alla fyra rastgårdar ska ha samma mått och inhägnas med stängsel.

Karin har $45$45 m stängsel och fyra dörrar som hon ska använda till rastgårdarna. Två av rastgårdarna byggs mot en ladugårdsvägg. Därför behövs inte stängsel på den sida som utgörs av ladugårdsväggen. Dörrarna är $0,75$0,75 m breda, lika höga som stängslet och ska placeras enligt figuren.

Arean för var och en av rastgårdarna ges av funktionen $A\left(x\right)=12x-1,5x^2$A(x)=12x−1,5x² där $A$A är arean i $m^2$m² och $x$x är längden av rastgårdens ena sida i $m$m, se figur.

a) Bestäm med hjälp av derivata det värde på $x$x som ger varje rastgård så stor area som möjligt. 

b) Visa att arean av en rastgård ges av funktionen $A\left(x\right)=12x-1,5x^2$A(x)=12x−1,5x² 

Lös ekvationen $\frac{6}{x-3}$6x−3  $-$− $\frac{18}{x\left(x-3\right)}$18x(x−3) $=2$=2 

Beräkna $\int\limits_0^4$ $e^{\frac{x}{2}}\text{ }dx$e^x2  dx. Svara exakt.

Bestäm konstanten $A$A så att $\lim\limits_{x \to \infty}$ $\frac{Ax}{4x+A}$Ax4x+A $=$=$\frac{1}{7}$17