Optimeringsproblem med derivata

När vi tillämpar derivatan handlar ofta uppgifterna om att hitta ett största eller minsta värde som den givna matematiska modellen kan anta.

När du tittar på hastighetsmätaren i en bil eller scooter ser du egentligen derivatan av sträckan med avseende på tiden. Derivatan mäter alltid en förändring, hur snabbt något ökar eller minskar. I den här lektionen ska vi använda derivatan för att lösa verkliga problem, till exempel hitta det största eller minsta värdet av en funktion, förstå vad derivatans enhet berättar och beräkna derivatan numeriskt när analytisk derivering inte är möjlig.

När vi tillämpar derivatan handlar många uppgifter om att hitta det största eller minsta värdet som en matematisk modell kan anta.

Vi vet att derivatan alltid är lika med noll i extrempunkterna. Om vi sätter derivatan lika med noll och löser ekvationen får vi på så sätt fram de värden på $x$x som ger det största eller minsta värdet i de lokala extrempunkterna. Kollar vi även ändpunkternas funktionsvärde kan vi på så sätt bestämma det globala maximumet och minimumet.

Derivatan definieras som gränsvärdet av en ändringskvot. En ändringskvot definieras som $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$△y△x . Utifrån detta kan vi dra slutsatsen att derivatans enhet vid tillämpning alltid motsvarar $y$y-axelns enhet dividerat med $x$x-axelns enhet. I hastighetsmätarexemplet ovan är $y$y-axeln sträcka (km) och $x$x-axeln tiden i timmar. Derivatan får då enheten km/h, precis som hastighetsmätaren visar.

Ett praktiskt tips är att ställa upp en kvot av enheterna och förenkla om du känner dig osäker på vilken enhet derivatan ska ha.

Ibland uppstår funktioner som vi ännu inte har regler för att derivera analytiskt. I sådana fall kan vi beräkna ett närmevärde till derivatan numeriskt, antingen med en ändringskvot över ett litet intervall eller med ett digitalt verktyg som GeoGebra. Ju mindre intervall vi väljer, desto bättre approximation får vi — detta är precis vad definitionen av derivatan säger: gränsvärdet när intervallets bredd går mot noll.

Ordet derivata kommer från latinets derivare, som betyder leda bort eller härleda. Derivatan ”härleds” ur funktionen. Begreppet uppfanns parallellt och oberoende av varandra, av Isaac Newton och Gottfried Wilhelm Leibniz under 1600-talets senare hälft. Newton kallade det fluxion och tänkte på det som en ögonblicklig hastighet, medan Leibniz notation dy/dx är den vi fortfarande använder i dag. Deras samtida tvist om vem som uppfann differentialkalkylen är ett av matematikhistoriens mest berömda prioritetsgräl.

När man jobbar med potensfunktioner som är skriva som en kvot med variabeln i nämnaren eller med ett rottecken underlättar man deriveringen mycket genom att skriva om dem i potensform innan man deriverar.

Följande två potensregler är användbara för detta.

$\frac{1}{a^n}$1aⁿ $=a^{-n}$=a⁻ⁿ som ger att $\frac{k}{x^n}=$kxⁿ = $kx^{-n}$kx⁻ⁿ

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$ⁿ√a=a¹ⁿ som ger att $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$√x=x¹²

Polynomen är en av många olika potensfunktioner. Det är samma regel vi använder.

För fler exempel på hur man kan tillämpa och använda derivatan i problemlösning rekommenderar vi att även se lektionerna Kedjeregeln och Förändringshastigheter och Derivata – Kedjeregeln för fördjupning.

• Beräkna $f´(\frac{\pi}{3}$ då $f(x)=2\sinx$.
• Ange tangentens i $ x=\frac{\pi}{2} $ till funktionen $f(x)=\cosx$.
• Temperaturen i en sjö uppmättes under ett molnigt sommardygn. Temperaturen visade sig följa funktionen $ y(t)=15+2sin(0,26t) $ där $t$ är antalet timmar efter kl. 12.00.
  a) Bestäm $y´(t)$.
  b) Beräkna $y´(10)$.
  c) Tolka vad $y´(10)$ betyder för vattnets temperatur.
• En låda skall konstrueras med förhållanden enligt figuren (se video). Bestäm $x$ så att det blir så stor volym som möjligt.