00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

I den här lektionen går vi igenom begreppet tal och närliggande områden som talsystem, talmängder, olika former av tal och hur olika typer av tal kan ha olika regler. Tanken med genomgången är att den skall ge en helhetsbild över talbegreppet.

Vad är ett tal?

Ett tal är ett sätt att beskriva storheter av olika slag.  Till exempel hur långt något är, hur mycket det väger, vilken volym, vilken hastighet, vilket antal eller vilken temperatur något har. Det är alltså ett sätt att beskriva olika kvantiteter, hur mycket, stort, litet eller långt något är.

Olika talsystem

Storheter har genom alla tider beskrivits med så kallade talsystem. Talsystemen har varierat över tid. Idag används framförallt det decimala talsystemet när man ska göra matematiska beräkningar. Talsystemet är ett positionssystem, det vill säga siffrans plats i talet är avgörande för dess värde, och bygger på basen tio. Det man menar med att ”bygga på basen tio” är att alla tal som finns kan byggas upp med en kombination av olika tiopotenser. Till exempel kan talet 365365365 kan skrivas i så kallad utvecklad form som 3102+6101+51003\cdot10^2+6\cdot10^1+5\cdot10^03·102+6·101+5·100. Men mer om detta i lektionen om det decimala talsystemet.

Exempel på andra talsystem är det romerska talsystemet som var vida känt och använt under romartiden. Talsystemets tecken är bokstäverna I, V, X, L, C, D och M. Systemet är trubbigt för mer avancerade beräkningar och används sällan idag, men återfinns ibland på gamla byggnader eller möbler för datering eller numrering.

Andra kända talsystem är det binära talsystemet med basen två och det hexadecimala talsystemet med basen sexton som förknippas starkt med datorer. Det binära som grund för all programmerings ursprung och det hexadecimala exempelvis för att beskriva färger på webben. Dessa talmängder kommer även de att studeras närmre i kommande lektioner.

Olika talmängder

Under historiens gång har matematiken utvecklats och nya upptäckter och behov har medfört att matematiker har organiserat och strukturerat tal i olika grupper för att underlätta och förtydliga sitt arbete med matematiken. Dessa grupperingar kallar man för mängder. Man kan i princip skapa vilka mängder man vill, men några har blivit mer användbara än andra och har därför fått särskilda namn. Här är en bild av några kända talmängder.

De olika talmängderna

Vissa av talen finns med i flera olika grupperingar. Inom matematiken kan man kalla en mängd tal som även ingår i en annan mängd för delmängder.

Alla tal som tillhör någon av ovanstående delmängder uppfyller olika kriterier som avgör att det tillhör just den mängden. Nu går vi igenom några av de vanligaste talmängderna. Var och en av dessa talmängder har fått en egen bokstav som betecknar dem.

De Naturliga talen N \mathbf{N}

Människan har sedan urminnes tider använt sig av de naturliga talen. För att komma ihåg vilka de naturliga talen är, kan man tänka att det är det tal man naturligast börjar jobba med när man börjar räkna, nämligen när man vill räkna hur många gosedjur man har eller hur många dagar det är kvar till lördag. Mängden av alla naturliga tal har fått beteckningen N\mathbf{N}

Naturligt tal

Alla heltal större eller lika med noll.

N=\mathbf{N}= { 0,1,2,3,4,5, 0, \, 1,\, 2,\, 3, \, 4, \, 5, \, …}

Med ”” menar man i matematiken att talen fortsätter oändligt uppåt eller nedåt. Och tecknet ”{” och ”}” brukar användas för att beteckna en mängd.

Det finns olika åsikter om noll ska ingå i de naturliga talen eller ej. Men i den svenska skolan brukar man alltid räkna med att noll ingår. Det finns oändligt många naturliga tal. Med oändligt många menar man ”hur många som helst”.

Heltal Z \mathbf{Z}

Tiden går i människans historia och behovet av att kunna hålla koll på om någon är skyldig någon annan nått eller ej uppstår. För att hålla koll på detta börjar man använda sig av negativa tal. De naturliga talen och de negativa hela talen tillsammans utgör mängden heltal. Denna mängd betecknas med ett Z \mathbf{Z}, från tyskans Zahl

Heltal

Mängden av alla naturliga och negativa heltal.

 Z= \mathbf{Z}= { 2,1,0,1,2 …-2,\, -1,\, 0, \, 1, \, 2…}

Det finns även oändligt många heltal.

De Rationella talen Q \mathbf{Q}

När människan blev mer och mer intresserad av att kunna mäta saker mer exakt så börja man intressera sig för andelar av helheten. Då inför man de rationella talen. Dessa tal utgör mängd

en av alla tal som kan skrivas som en kvot av två heltal. De rationella talen benämns ofta med namnet bråktal och betecknas med bokstaven QQ.

Rationellt tal

Mängden av alla tal som kan skrivas som en kvot av två heltal aa och bb, där b0b≠0.

 Q= \mathbf{Q}= { alla tal ab\frac{a}{b}, där aa och bb är hela tal och b0b≠0}

 Det finns även oändligt många rationella tal. Även heltalen är rationella tal. 

Några exempel är 222,  23\frac{2}{3}23  ,  3-33 ,  19-\frac{1}{9}19  .

Faktiskt är även talen 2,52,52,5 och 0,75-0,750,75  rationella tal eftersom att de kan skrivas som en kvot mellan två heltal.

2,5=2,5=2,5= 52\frac{5}{2}52   och 0,75=-0,75=0,75=34-\frac{3}{4}34 

De Irrationella talen

Vissa tal kan inte tecknas som en kvot av två hela tal. Sådana tal kallas för irrationella tal. Ett av dessa tal har du känt till länge, nämligen talet π\piπ. Några andra tal som du kommer att använda mer på gymnasiet är talen 2\sqrt{2}2 och den naturliga basen eee. Gemensamt för dessa tal är att då de är skrivna i decimalform har en oändlig följd av decimaler, som inte består av några periodiska upprepningar. Det finns ingen speciell beteckning för de irrationella talen.

Irrationellt tal

Reella tal som inte är rationella. 

De Reella talen R \mathbf{R}

De reella talen är alla de tal som finns på en kontinuerlig tallinje, dvs. på en tallinje utan några avbrott. Det kan alltså vara alltifrån heltal som 11, 22 eller 6-6 till tal med en oändlig decimalutveckling, så kallade irrationella tal, som 2 \sqrt{2} eller talet π \pi .

I de reella talen ingår alltså alla ovanstående mängder; de naturliga talen NN, heltalen ZZ, de rationella talen QQ och de irrationella talen eftersom de alla är tal som finns med på en kontinuerlig tallinje.

Reella tal

Varje punkt på en kontinuerlig tallinje motsvarar ett reellt tal.

 R= \mathbf{R}= { alla tal på tal linjen}

Det finns oändligt många reella tal.

De komplexa talen C \mathbf{C}

Med de komplexa talen så utvidgas de reella talen så att de innehåller en så kallad imaginär del som betecknas med ett ii. Här definieras i2=1i^2=-1 vilket gör att vi faktiskt kan ta roten ur negativa tal och lösa ekvationer som har komplexa rötter. Läs gärna mer om detta här.

Tal på olika former

En storhet kan skrivas på olika former och ändå motsvara samma värde. Man säger att tal kan skrivas på olika former. I kommande lektioner kommer vi att fördjupa oss i några olika vanliga former att skriva talen på och olika räkneregler och egenskaper för talen. Men här nämner vi kort något.

Decimalform

Tal skrivna på en form, med siffror på båda sidor om ett decimaltecknet. 

Siffrorna på båda sidor decimaltecknet utgör tillsammans ett enda tal. Entalet motsvara talet precis till vänster om decimaltecknet. Det är entalet, inte decimaltecknet som är mittpunkten i talet. Åt vänster ökar värdet i varje position tiofalt och åt höger minskar värdet i varje position tiofalt. Om talet är mindre än ett används en nollor som platsmarkering före första gällande siffra i ett tal, t ex i 0,00490,0049.

I vårt samhälle är användningen av tal i decimalform mycket vanlig. Formen möjliggör många olika beräkningar. En svaghet med decimalsystemet, vars styrka är att uttrycka små delar av en enhet är, att det inte kan uttrycka ett exakt resultatet av vissa divisioner. Exempelvis kan en tredjedel inte skrivas exakt i decimalform, då talet har ett oändligt antal treor efter decimaltecknet. Genom att använda sig av skrivsättet med tre punkter på slutet, så här”0,3330,333…”, visar man att treorna upprepas oändligt många gånger.

 Bråkform

Tal skrivna på formen  ab\frac{a}{b}ab ,  där täljaren aa och nämnaren bb är hela tal och b0b≠0

Precis som vi nämnde tidigare att bråktal är ett annat namn på rationellt tal.  Täljaren visar hur många delar av helheten vi har. Nämnaren visar i hur många delar en hel har delats. 

När täljaren är densamma och nämnaren blir större, det vill säga ju fler delar helheten delas i, desto mindre blir bråkets värde eftersom varje del blir mindre. 

Bråk uttrycker tydligt andelar av en helhet. Ibland behövs bråken för att resultatet av en division ska kunna uttryckas exakt och enkelt. Till exempel är det omöjligt att skriva exakt en tredjedel utan ett bråk. 

Procentform

Tal skrivna på formen a % a\text{ }\%\text{ }a %

Ordet procent kommer från latinets pro centum som betyder ”för varje hundra”. Antalet procent anger just hur många hundradelar av en helhet något utgör. Procentform används ofta när man vill visa statistik eller olika förändringar.

Potensform

Tal skrivna på formen ana^nan, där aaa är en bas och nnn en exponent. 

Potensform är extra användbar när alla faktorer i en produkt är samma. Alltså när ett tal multipliceras med sig själv upprepade gånger. Mycket stora tal kan då skrivas i en kompakt, lättare greppbar form. Till exempel kan vi skriva talet 1 000 000 000 000 0001\text{ }000\text{ }000\text{ }000\text{ }000\text{ }0001 000 000 000 000 000, en biljard, som på potensform som 101510^{15}1015, vilket är lättare att använda vid beräkningar med mera då det är lätt att missa en nolla eller två annars.

Andra intressanta mängder

Det finns förstås fler intressanta och viktiga grupperingar av tal som kan vara kul att känna till när du läser gymnasiematematik. Nedanför följer en lista några sådana mängder.

  • Negativ tal– Ett reellt tal mindre än noll.
  • Jämt tal – Ett heltal som är delbart med två.
  • Udda tal – Ett heltal som inte är delbart med två.
  • Motsatt tal – Två tal kallas motsatta om de ger summan noll när de adderas. Exempelvis är 5-5 motsatt tal till 555+(5)=05+(-5)=0.
  • Primtal – Ett tal större än ett och som endast är delbara med sig självt och 11.
  • Perfekt tal – Ett tal där summan av talets delare är lika med talet. Exempelvis är 66 perfekt, eftersom att 1,2,31, 2, 3 är talets delare och 1+2+3=61+2+3=6.
  • Inverterat tal – Det tal som multiplicerat med ett givet tal ger 11. Exempelvis är  25\frac{2}{5}25   det inverterade talet till 52\frac{5}{2}52   eftersom att  2552=\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}=25 ·52 = 11

I kommande lektioner har du möjlighet att fördjupa dig mer kring räkneregler och olika tals egenskaper. Vill du fördjupa dig riktigt mycket, utöver vad gymnasiekurserna kräver kan du med fördel läsa om detta på Wikipedia om tal.

Exempel i videon

  • Exempel på tre olika talsystem.
  • Exempel på olika talmängder.
  • Exempel på tal skrivna i olika former.
  • Exempel på olika räkneregler för olika former av tal.