Nationellt prov Matematik 2b ht 2015 DEL B och C

I koordinatsystemet är en rät linje $L$L ritad.

a) Ange ekvationen för linjen $L$L på formen $y=kx+m$y=kx+m.

b) Ange ekvationen för en annan rät linje som är parallell med linjen $L$L. 

Figuren visar grafen till funktionen $f$ƒ  där $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax²+bx+c.

a) Använd grafen och bestäm konstanten $c$c.

Med hjälp av grafen löser Zoltán en ekvation på formen $f\left(x\right)=K$ƒ (x)=K och får de korrekta lösningarna $x_1=1$x₁=1 och $x_2=5$x₂=5 

b) Bestäm konstanten $K$K.

Förenkla uttrycken så långt som möjligt.

a)  $\left(5+x\right)^2-x^2$(5+x)²−x² 

b)  $\frac{x^{0,5}\cdot x^{\frac{1}{2}}+2x}{3}$x^0,5·x¹² +2x3  

c)  $\sqrt[3]{3^6}\cdot x-3x$³√3⁶·x−3x 

Faktorisera uttrycket $25x^2-16y^2$25x²−16y² så långt som möjligt.

Två av ekvationerna  $A-F$A−F  har $x=i\sqrt{3}$x=i√3 som en av lösningarna. Vilka två?

A.  $x^2=-9$x²=−9 

B.  $x^2+3=0$x²+3=0 

C.  $x^2=3$x²=3 

D.  $x\left(x+\sqrt{3}\right)=0$x(x+√3)=0 

E.   $x^3=-3x$x³=−3x 

F.  $\left(x+3\right)\left(x-3\right)=3$(x+3)(x−3)=3 

Figuren visar grafen till en andragradsfunktion $f$ƒ  och en rät linje $g$g.

Använd figuren för att lösa uppgifterna:

a) För vilka värden på $x$x gäller att $f\left(x\right)<-2$ƒ (x)<−2 ?

b) För vilka värden på $x$x gäller att både $f\left(x\right)>0$ƒ (x)>0 och $g\left(x\right)>0$g(x)>0 ?

a) Lös ekvationen och svara exakt.

 $10^{3x+3}=9$10^3x+3=9 

b) I vilket av följande intervall A–F finns lösningen till ekvationen  $10^{3x+3}=9$10^3x+3=9 ?

A.  $-1,5\le x$−1,5≤x $<-1$<−1 

B.      $-1\le x$−1≤x$<-0,5$<−0,5 

C.   $-0,5\le x$−0,5≤x$<0$<0 

D.         $0\le x$0≤x$<0,5$<0,5 

E.       $0,5\le x$0,5≤x$<1$<1 

F.           $1\le x$1≤x$<1,5$<1,5 

Lös ekvationen $x^2+4x-5=0$x²+4x−5=0 

Grafen till en andragradsfunktion har sin maximipunkt i punkten $P\left(0,\text{ }4\right)$P(0, 4).

Avgör om grafen till andragradsfunktionen kan gå igenom punkten $Q(-2,\text{ }6)$Q(−2, 6). Motivera ditt svar.

Ett företag tillverkar skruvar. Enligt märkningen på förpackningen ska skruvarnas längd vara $54,0$54,0 mm. Längden är normalfördelad med medelvärdet $54,0$54,0 mm och standardavvikelsen $0,20$0,20 mm.

Bestäm hur många procent av skruvarna som kan förväntas vara kortare än $53,6$53,6 mm.

För en funktion $f$ƒ  gäller att $f\left(x\right)=2x^2+12x+a$ƒ (x)=2x²+12x+a

Bestäm för vilka värden på konstanten $a$a som ekvationen $f\left(x\right)=0$ƒ (x)=0 har två olika reella rötter.

Lös ekvationssystemen med algebraisk metod.

a) $\begin{cases} 2x-5y=22 \\ x+5y=-4\end{cases} $

b) $\begin{cases} (10^x)^2 \cdot 10^y = 10^{10} \\ (10^y)^x=10^{12}\end{cases} $

Juhani ska tillverka smycken av metalltråd och silverplåt med formen av en rektangel och en kvadrat.

Juhani bestämmer att rektangelns längd ska vara tre gånger så lång som bredden. Han betecknar rektangelns bredd med $x$x cm. Juhani tänker täcka hela smycket med silverplåt, se figur.

Till varje smycke tänker Juhani använda en tråd med längden $28$28 cm. Den ska räcka till både rektangelns och kvadratens omkrets. Eftersom silverplåt är dyrt vill han att smyckets area $A$A cm$^2$² ska bli så liten som möjligt.

a) Teckna arean $A$A cm$^2$² av smyckets silverplåt, som funktion av rektangelns bredd $x$x cm.

b) Förklara varför definitionsmängden för areafunktionen är $0<$0<$x<$x<$\frac{7}{2}$72  

c) Bestäm rektangelns bredd $x$x så att arean $A$A blir så liten som möjligt.

Lös ekvationen $\lg\left(\lg\left(8-x\right)\right)=0$lg(lg(8−x))=0 

Av två andragradsfunktioner $f$ƒ  och $g$g bildas en ny funktion $h$h enligt $h\left(x\right)=f\left(x\right)-3\cdot g\left(x\right)$h(x)=ƒ (x)−3·g(x). Avgör vad som alltid måste gälla för att även $h$h ska vara en andragradsfunktion. Motivera ditt svar.