KURSER /
Matematik 2
A/ Algebra, Exponentialfunktioner och Potensfunktioner
Vad är en Andragradsekvation
Författare:Simon Rybrand
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
En andragradsekvation är en ekvation av graden två. Det innebär att den har en x2-term och att ingen annan term i ekvationen har ett högre gradtal, det vill säga en variabelterm med ett större tal än 22 som exponent.
Några exempel på andragradsekvationer är
x2=16
3x2−6x=0
x2+4x+5=0.
Vi kommer lära oss fem olika metoder att lösa andragradsekvationer. Nämligen med kvadratrotsmetoden, nollproduktmetoden, pq-formeln, kvadratkomplettering och grafisk lösning.
Men först lär vi oss känna igen en andragradsekvation!
Andragradsekvation – definition
En andragradsekvation definieras enligt följande. Här skrivs den på så kallad allmän form.
Allmän form
ax2+bx+c=0
där a,b,c är konstanter och åtminstone a=0
Termen ax2ax2 kallas för andragradsterm, eftersom att den har graden två. Det ser vi på att variabelns exponent är just en tvåa.
Termen bxbx kallas för förstagradsterm, eftersom att den har graden ett. Det ser vi på att variabelns exponent är just en etta, även om den här är ”osynlig”. Man skriver sällan ut exponenten ett, utan utgår från att vi ska veta att x=x1x=x1.
Termen cc kallas för konstantterm, eftersom att den inte innehåller någon variabel och därmed är konstant.
Andra och förstagradstermerna samlas under namnet variabeltermer. Variabeln i sin tur delas ini en koefficient, variabel och en exponent.
Återvänt till lektionen Begrepp i Algebra om du känner dig osäker på dessa begrepp. Det kommer underlätta mycket om du kan dem.
Tre olika lösningsmetoder
Vi kommer lära oss tre olika metoder för att lösa andragradsekvationer. Den så kallade PQ-formeln kan lösa alla lösningsbara andragradsekvationer, medan nollproduktmetoden och kvadratrotsmetoden endast lämpar sig för vissa andragradsfunktioner.
Kvadratrotsmetoden
Andragradsekvationer som saknar en förstagradsterm kan effektivast lösas med kvadratrotsmetoden.
ax2+c=0
där a och c är konstanter skilda från noll.
Exempelvis är ekvationen 2x2−8=02x2−8=0 en mycket lämplig ekvation för att tillämpa kvadratrotsmetoden på.
Nollproduktmetoden
Andragradsekvationer som saknar en konstatterm kan effektivast lösas med nollproduktmetoden.
ax2+bx=0
där a och b är konstanter skilda från noll.
Exempelvis är ekvationen 2x2−8x=02x2−8x=0 en mycket lämplig ekvation för att tillämpa nollproduktmetoden på.
PQ-formeln/Lösningsformeln
Andragradsekvationer som både har en andragradsterm, en förstagradsterm och en konstantterm kan bara lösas med lösningsformeln.
ax2+bx+c=0
där a, b och c är konstanter skilda från noll.
Exempelvis är ekvationen x2+4x−5=0x2+4x−5=0 en mycket lämplig ekvation för att tillämpa pq-formeln på.
I kommande lektioner går vi igenom metod för metod.
Koda av effektivast lösningsmetod
Du har stor nytta av att snabbt se vilken av metoderna du ska använda för att effektivast lösa ekvationen. Som vi nämnt tidigare kan vi lösa alla andragradsekvationer som har en lösning med lösningsformeln, medan nollproduktmetoden och kvadratrotsmetoden ibland snabbare ger en lösning, men inte kan lösa alla andragradsekvationer.
I vissa länder lär man ut abc-formeln i stället för PQ. De är i stort sätt samma bara att man utgår från den allmänna formen för andragradsekvationen direkt i stället för att först skriva om för PQ, med koefficienten 11 framför andragradstermen.
I lektionen Test-Lösningsformeln, Kvadratrots- och Nollproduktmetoden har du möjlighet att träna på att se vilken metod som är effektivast.
Saknar reella lösningar
En ekvation som inte får ett reellt värde på xx när vi löser den säger vi saknar reella lösningar. Det inträffar tex när vi har ett negativ tal under ett rottecken vid lösning av ekvationen.
Exempel 1
Lös ekvationen x2=−49x2=−49
Lösning
Vi söker det tal som gånger sig självt blir −49−49 och löser ekvationen genom att dra roten ut båda led.
x2=−49x2=−49
x1,2=−49x1,2=√−49
Då vi inte har något reellt tal som gånger sig självt blir −49−49 saknar ekvationen reella lösningar.
Däremot kan vi i kommande kurser lösa ekvationen genom att använda oss av den imaginära enheten ii som definieras som i=−1i=√−1 och med hjälp av den ta fram de komplexa lösningarna {x1=7ix2=−7i
Men det tar vi då!
Exempel i videon
- x2=16 – Exempel på ekvation som löses med roten ur.
- x2−x=0 – Exempel på ekvation som löses med nollproduktmetoden.
- x2+4x−5=0 – Exempel på ekvation som löses med pq-formeln.
Kommentarer
e-uppgifter (7)
1.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Din lärare har bett dig att börja med att lösa andragradsekvationen. Vilken uppgift ska du då börja med?
Svara med bokstaven på uppgiften.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Uppgift c)(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vad måste ett uttryck innehålla för att det ska vara en andragradsekvation?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilken koefficient, aa eller bb, får inte vara lika med noll för att följande ekvation ska vara en andragradsekvation?
ax2+bx=0ax2+bx=0
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilken är koefficienten framför andragradstermen i ekvationen 5x2−3x=05x2−3x=0 ?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 5(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...5. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilken metod kan du använda för att effektivast lösa en andragradsekvation, som har en andragradsterm och en konstantterm, med saknar en förstagradsterm?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilken metod kan du använda för att effektivast lösa en andragradsekvation, som har en andragradsterm och en förstagradsterm, med saknar en konstantterm?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilken metod måste du använda för att lösa en andragradsekvation som innehåller både en x2x2-term, en xx-term och en konstantterm?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
fawaz kourie
jag kan inte se filmerna.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej,
är du inloggad?
Vi har ett antal gratisvideos, men de andra behöver du vara inloggad för att kunna se.
Elin Nedoh
Hur vet man vilken lösningsmetod man ska använda?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Jag har nu lagt till lite tips på vilken metod som är lämplig när i texten. Hoppas det kan vara till hjälp.
Lycka till med andragradsekvationerna.
anneli närhi
det går inte att se filmerna
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Kan du starta igång videon eller kommer det inte igång alls?
Prova gärna med en annan webbläsare om du använder en dator ifall det är problem där också.
Annars så går det bra att höra av sig till oss på support@matematikvideo.se
Endast Premium-användare kan kommentera.