00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2
A
/  Algebra, Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Vad är en Andragradsekvation

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

En andragradsekvation är en ekvation av graden två. Det innebär att den har en x2x^2-term och att ingen annan term i ekvationen har ett högre gradtal, det vill säga en variabelterm med ett större tal än 222 som exponent.

  

Några exempel på andragradsekvationer är

x2=16 x^2=16

3x26x=03x^2-6x=0

x2+4x+5=0x^2 + 4x+5 = 0.

Vi kommer lära oss fem olika metoder att lösa andragradsekvationer. Nämligen med kvadratrotsmetoden, nollproduktmetoden, pq-formeln, kvadratkomplettering och grafisk lösning.

Men först lär vi oss känna igen en andragradsekvation!

Andragradsekvation – definition

En andragradsekvation definieras enligt följande. Här skrivs den på så kallad allmän form.

Allmän form

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

där a,b,ca,b,c är konstanter och åtminstone a0a≠0

Termen ax2ax^2ax2 kallas för andragradsterm, eftersom att den har graden två. Det ser vi på att variabelns exponent är just en tvåa.

Termen bxbxbx  kallas för förstagradsterm, eftersom att den har graden ett. Det ser vi på att variabelns exponent är just en etta, även om den här är ”osynlig”. Man skriver sällan ut exponenten ett, utan utgår från att vi ska veta att  x=x1x=x^1x=x1.

Termen ccc kallas för konstantterm, eftersom att den inte innehåller någon variabel och därmed är konstant. 

Andra och förstagradstermerna samlas under namnet variabeltermer. Variabeln i sin tur delas ini en koefficient, variabel och en exponent. 

Återvänt till lektionen Begrepp i Algebra om du känner dig osäker på dessa begrepp. Det kommer underlätta mycket om du kan dem.

Tre olika lösningsmetoder

Vi kommer lära oss tre olika metoder för att lösa andragradsekvationer. Den så kallade PQ-formeln kan lösa alla lösningsbara andragradsekvationer, medan nollproduktmetoden och kvadratrotsmetoden endast lämpar sig för vissa andragradsfunktioner. 

Kvadratrotsmetoden

Andragradsekvationer som saknar en förstagradsterm kan effektivast lösas med kvadratrotsmetoden.

ax2+c=0ax^2+c=0

där aa och cc är konstanter skilda från noll.

Exempelvis är ekvationen 2x28=02x^2-8=02x28=0  en mycket lämplig ekvation för att tillämpa kvadratrotsmetoden på.

Nollproduktmetoden

Andragradsekvationer som saknar en konstatterm kan effektivast lösas med nollproduktmetoden.

ax2+bx=0ax^2+bx=0

där aa och bb är konstanter skilda från noll.

Exempelvis är ekvationen 2x28x=02x^2-8x=02x28x=0  en mycket lämplig ekvation för att tillämpa nollproduktmetoden på.

PQ-formeln/Lösningsformeln

Andragradsekvationer som både har en andragradsterm, en förstagradsterm och en konstantterm kan bara lösas med lösningsformeln.

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

där a,a, bb och cc är konstanter skilda från noll.

Exempelvis är ekvationen  x2+4x5=0x^2+4x-5=0x2+4x5=0  en mycket lämplig ekvation för att tillämpa pq-formeln på.

I kommande lektioner går vi igenom metod för metod.

Koda av effektivast lösningsmetod

Du har stor nytta av att snabbt se vilken av metoderna du ska använda för att effektivast lösa ekvationen. Som vi nämnt tidigare kan vi lösa alla andragradsekvationer som har en lösning med lösningsformeln, medan nollproduktmetoden och kvadratrotsmetoden ibland snabbare ger en lösning, men inte kan lösa alla andragradsekvationer.

I vissa länder lär man ut abc-formeln i stället för PQ. De är i stort sätt samma bara att man utgår från den allmänna formen för andragradsekvationen direkt i stället för att först skriva om för PQ, med koefficienten 111  framför andragradstermen.

I lektionen Test-Lösningsformeln, Kvadratrots- och Nollproduktmetoden har du möjlighet att träna på att se vilken metod som är effektivast.

Saknar reella lösningar

En ekvation som inte får ett reellt värde på xxx när vi löser den säger vi saknar reella lösningar. Det inträffar tex när vi har ett negativ tal under ett rottecken vid lösning av ekvationen.

Exempel 1

Lös ekvationen x2=49x^2=-49x2=49 

Lösning

Vi söker det tal som gånger sig självt blir  49-4949  och löser ekvationen genom att dra roten ut båda led.

 x2=49x^2=-49x2=49 

 x1,2=49x_{1,2}=\sqrt{-49}x1,2=49 

Då vi inte har något reellt tal som gånger sig självt blir 49-4949 saknar ekvationen reella lösningar.

Däremot kan vi i kommande kurser lösa ekvationen genom att använda oss av den imaginära enheten iii som definieras som  i=1i=\sqrt{-1}i=1 och med hjälp av den ta fram de komplexa lösningarna {x1=7ix2=7i \begin{cases} x_1 = 7i \\ x_2 = -7i \end{cases}

Men det tar vi då!

Exempel i videon

  • x2=16 x^2=16 – Exempel på ekvation som löses med roten ur.
  • x2x=0x^2-x=0 – Exempel på ekvation som löses med nollproduktmetoden.
  • x2+4x5=0x^2+4x-5=0 – Exempel på ekvation som löses med pq-formeln.