Nationellt prov Matematik 2b vt 2014 DEL B och C

I koordinatsystemet nedan finns två punkter $A$A och $B$B. Ange ekvationen för den räta linje som går genom dessa punkter.

Lös ekvationerna och svara exakt.

a)  $11^x=3$11^x=3 

b)  $\lg x=5$lgx=5 

Alva köper några aktier för $2000$2000 kr. Hon undrar hur många år det tar innan värdet av hennes aktier fördubblas om aktiernas värde ökar exponentiellt med  $12$12 % per år.

Vilken av ekvationerna A-F, där $x$x anger antal år efter inköpstillfället, ska Alva välja att lösa för att kunna svara korrekt på frågan:
”Efter hur många år har värdet på mina aktier fördubblats?”

År 1798 försökte engelsmannen Henry Cavendish bestämma jordens densitet. Han gjorde ett antal mätningar och beräknade sedan värden på jordens densitet.

I diagrammet nedan visas 29 av Cavendishs värden på jordens densitet.

a) Bestäm variationsbredden. 

b) Bestäm medianen.

c) Standardavvikelsen för värdena ovan är $0,35$0,35 g/cm$^3$³.

Ange med ett ord vad som händer med standardavvikelsens storlek om de två lägsta värdena $4,1$4,1 och $4,7$4,7 plockas bort.
Standardavvikelsen blir…

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

a)  $\left(x+5\right)^2-\left(5+x\right)\left(x+5\right)$(x+5)²−(5+x)(x+5) 

b)  $\frac{2x^{\frac{4}{3}}\cdot x^{\frac{2}{3}}}{x^2}$2x⁴³ ·x²³ x²  

I funktionen $y=ax^2+bx+c$y=ax²+bx+c är $a,\text{ }b$a, b och $c$c konstanter.

Skissa i koordinatsystemet ett förslag på hur grafen till andragradsfunktionen  $y=ax^2+bx+c$y=ax²+bx+c kan se ut om  ekvationen $ax^2+bx+c=0$ax²+bx+c=0 har två icke-reella rötter.

Ett linjärt ekvationssystem har lösningen $ \begin{cases} x=3 \\ y = 1 \end{cases} $

Ekvationssystemet består av två olika ekvationer som båda innehåller variablerna $x$x och $y$y. Ge ett exempel på ett sådant ekvationssystem.

 Figuren nedan visar en rektangel med diagonalen inritad.

a) Vilka värden kan $a$a anta om rektangelns area ska vara större än $18$18 cm$^2$²?
Svara exakt.

b) Längden av rektangelns diagonal ges av uttrycket  $\sqrt{\left(a+4\right)^2+\left(a-4\right)^2}$√(a+4)²+(a−4)² 
Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

Faktorisera uttrycket $8x^3-18xy^2$8x³−18xy² så långt som möjligt.

Lös ekvationen $\left(x-\sqrt{3}\right)^2-4\left(x-\sqrt{3}\right)+3=0$(x−√3)²−4(x−√3)+3=0 om du vet att $t^2-4t+3=0$t²−4t+3=0 har lösningarna $t_1=3$t₁=3 och $t_2=1$t₂=1.  Svara med exakta värden.

Figuren visar linjerna $x=a$x=a och $y=b$y=b, där $a$a och $b$b är olika konstanter, $a\ne0$a≠0, $b\ne0$b≠0.

Linjerna skär varandra i punkten $P$P i koordinatsystemets fjärde kvadrant.

Vilken eller vilka av nedanstående linjer $A-D$A−D går genom punkten $P$P?

Lös ekvationssystemet $\begin{cases} x+2y=4 \\ 2x-4y=4 \end{cases} $ med algebraisk metod.

Lös ekvationerna med algebraisk metod.

a) $x^2+2x-15=0$x²+2x−15=0 

b)  $x\left(x+3\right)=x+3$x(x+3)=x+3 

En rät linje har ekvationen $y=-2x+8,15$y=−2x+8,15  och går genom punkten $P$P med $x$x -koordinaten $3$3. Rektangeln i figuren har ett hörn i punkten $P$P och motsatta hörnet i origo. Två av rektangelns sidor ligger på de positiva koordinataxlarna.

Bestäm rektangelns area.

I samband med ringmärkning bestäms ofta fågelns vikt och vingmått.

Ett antal fåglar av arten pungmes ringmärktes vid sjön Tåkern i Östergötland. En biolog har fått tillgång till data över fåglarnas vikt och vingmått och ställer upp följande modell för sambandet mellan vikt och vingmått:

 $y=-6x^2+360x+5000$y=−6x²+360x+5000 

där $y$y är fågelns vikt i milligram och $x$x är fågelns vingmått i millimeter.

a) Beräkna vikten hos en fågel med vingmåttet $10$10 mm.

Biologen observerar att det finns fåglar som har samma vikt trots att de har olika vingmått. En fågel med vingmåttet $20$20 mm väger $9\text{ }800$9 800 mg.

b) Använd grafen för att bestämma ytterligare ett vingmått som motsvarar vikten $9\text{ }800$9 800 mg. Endast svar krävs.

Två räta linjer har ekvationerna  $y=2x+a$y=2x+a och  $2y-x=b$2y−x=b, där  $a$a och  $b$b är konstater.
Anta att linjerna alltid ska skära varandra i en punkt som ligger på linjen $y=3x$y=3x.

Visa vilket samband som då måste gälla mellan $a$a och $b$b.

I ekvationen $ax^2-a^2x=-2$ax²−a²x=−2  är $a$a en positiv konstant. Lös ekvationen och visa vilka värden på $a$a som ger två olika reella rötter.