Nationellt prov Matematik 4 vt 2016 del B och C

Skriv vinkeln  $18^{\circ}$18^∘  i radianer.

Markera i det komplexa talplanet ett tal  $z$z  för vilket det gäller att  $\text{Re}\left(z\right)=0$Re(z)=0  och  $\left|z\right|=2$|z|=2.

Rita av och markera i figuren på ett papper och rätta manuellt.

Lös ekvationen  $z^3-6z^2+13z=0$z³−6z²+13z=0 

 $z_1=$z₁= 
 $z_2=$z₂= 
 $z_3=$z₃= 

Ange ett komplext tal  $z$z  på formen  $z=a+bi$z=a+bi  som uppfyller villkoret  $\text{arg}\left(z\right)=135^{\circ}$arg(z)=135^∘.

Det komplexa talet  $z=2\left(\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}\right)$z=2(cos2π7 +isin2π7 ) är givet. Bestäm  $z^3$z³.

Det finns många icke-reella tal  $z$z  för vilka det gäller att  $z+\overline{z}=-10$z+z=−10. Ange ett sådant icke-reellt tal  $z$z.

Funktionen   $f\left(x\right)=$ƒ (x)=$\frac{x}{x^2-9}+\frac{7}{8}$xx²−9 +78   har två lodräta och en vågrät asymptot. Ange ekvationerna för de tre asymptoterna.

Derivera

a)  $f\left(x\right)=2x\cdot\sin x$ƒ (x)=2x·sinx

b)   $g\left(x\right)=$g(x)=$\frac{e^x}{x}$e^xx  

I figuren visas grafen till en trigonometrisk funktion  $f$ƒ .

a) Funktionen kan skrivas  $f\left(x\right)=A\sin\left(kx\right)+B$ƒ (x)=Asin(kx)+B. Bestäm konstanterna  $A$A,  $B$B  och  $k$k.

b) Funktionen kan även skrivas  $f\left(x\right)=A\cos\left(kx+v\right)+B$ƒ (x)=Acos(kx+v)+B  där  $A$A,  $B$B  och  $k$k  har samma värden som i uppgift a). Bestäm ett värde på konstanten  $v$v.

Det skuggade området i figuren begränsas av graferna till funktionerna  $f$ƒ   och  $g$g , linjen  $x=2$x=2  samt  $y$y-axeln. Områdets area är  $16$16  a.e.

För funktionen  $f$ƒ   gäller att  $\int_0^2f\left(x\right)dx=10$∫₀²ƒ (x)dx=10.
Bestäm  $\int_0^2g\left(x\right)dx$∫₀²g(x)dx. 

Markera i det komplexa talplanet alla  $z$z  som uppfyller villkoret  $\left|z+\overline{z}\right|=\left|z-\overline{z}\right|$|z+z|=|z−z|. 

Rita av och markera i figuren på ett papper och rätta manuellt.

Ge ett exempel på en trigonometrisk funktion  $f$ƒ   på formen  $f\left(x\right)=A\sin kx$ƒ (x)=Asinkx  som uppfyller  $\int_0^{2\pi}f\left(x\right)dx=1$∫₀^2πƒ (x)dx=1.

Beräkna  $\frac{20}{3+i}$203+i   och svara på formen  $a+bi$a+bi.

Bestäm konstanten $a$a så att  $y=2e^{3x}$y=2e^3x  blir en lösning till differentialekvationen  $y’+ay=0$y’+ay=0.

För vinkeln  $v$v  gäller att  $\sin v=\frac{4}{5}$sinv=45   och  $0^{\circ}<$0^∘< $v<90^{\circ}$v<90^∘. Bestäm  $\cos\left(v+45^{\circ}\right)$cos(v+45^∘)  exakt.

Grafen till  $f\left(x\right)=\left(2x-3\right)^5$ƒ (x)=(2x−3)⁵  har en tangent i den punkt där  $f\left(x\right)=1$ƒ (x)=1 . Bestäm tangentens ekvation.

Visa att  $g\left(x\right)=\sin^4x$g(x)=sin⁴x  är en primitiv funktion till  $f\left(x\right)=2\sin^2x\cdot\sin2x$ƒ (x)=2sin²x·sin2x.

I en mikrovågsugn finns en rund bricka som kan rotera. Ett glas placeras på brickan enligt figur 1.

När mikrovågsugnen är igång roterar brickan med konstant fart. Avståndet  $y$y  cm från glasets centrum till mikrovågsugnens lucka beskrivs av funktionen  $y\left(t\right)=17,0-12,5\cos\left(\frac{\pi}{6}\left(t+3\right)\right)$y(t)=17,0−12,5cos(π6 (t+3))  där  $t$t är tiden i sekunder. Vid  $t=0$t=0  befinner sig glaset längst till vänster i mikrovågsugnen, se figur 2.

a) Bestäm det största avståndet från glasets centrum till mikrovågsugnens lucka. Endast svar krävs.
b) Bestäm hur lång tid det tar för glaset att rotera ett varv i mikrovågsugnen.

Glaset roterar antingen medurs eller moturs. Se figur 3.

c) Undersök åt vilket håll glaset roterar i den här mikrovågsugnen.

Lös ekvationen  $\tan2x\cdot\tan x=\tan x$tan2x·tanx=tanx.

Låt  $f\left(x\right)=e^{2x}-e^x+\frac{1}{4}$ƒ (x)=e^2x−e^x+14 . Visa att  $f\left(x\right)\ge0$ƒ (x)≥0  för alla  $x$x.