Tillämpning - Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Antalet bakterier $B\left(t\right)$B(t) i en bakteriekultur ökar exponentiellt varje timme enligt funktionen $B\left(t\right)=1500\cdot1,065^t$B(t)=1500·1,065^t.

Hur många bakterier finns det vid försökets början?

Antalet bakterier, $B\left(t\right)$B(t), i en bakteriekultur ökar exponentiellt varje timme enligt funktionen $B\left(t\right)=1500\cdot1,065^t$B(t)=1500·1,065^t .

Med hur många procent ökar antalet bakterier varje timme?

Jimmy har köpt en ny bil för $280\text{ }000$280 000 kr. Bilens värde visar sig minska med $12\text{ }\%$12 % per år.

Hur mycket är bilen värd efter fyra år?

Avrunda till hela tusental.

Du köper en guldtacka för $10\text{ }000$10‍000 kr och räknar med att priset kommer att stiga med $2,2\text{ }\%$2,2 % per år.

När är din guldtacka värd $15\text{ }000$15 000 kronor?

Avrunda till hela år.

Lisa sätter in $5000$5000 kr på ett sparkonto med en fast årlig ränta på $2,1\%$2,1%. Hur många år dröjer det innan pengarna på kontot har dubblerats?

Lös uppgiften både algebraiskt och grafiskt och avrunda till hela år.

Du har haft tur och vunnit $5000$5000 kronor på ett lotteri. Du sparar dessa pengar i en räntefond med den planerade årsräntan på $3,3\text{ }\%$3,3 %.

När har dina pengar ökat så pass mycket att du kan ta ut $7000$7000 kronor?

Ange svaret med en decimals noggrannhet.

Du har satt in pengar på ett konto och om du inte sätter in några mer pengar och räntan är konstant så kommer summan på kontot växa exponentiellt. Hur stor är räntan på kontot om du satte in $20\text{ }000$20 000 kr och det är $20\text{ }505$20 505 kr efter fem år?

Ange svaret med en decimals nogrannhet och procent tecken.

Befolkningen i Sverige växer med ca $1,1\text{ }\%$1,1 % per år. I januari 2017 var det $10$10 miljoner invånare i Sverige.

Under vilket år kan vi antas passera $11$11 miljoner invånare om tillväxten fortsätter med samma hastighet?

Ett av Sveriges miljömål är att minska koldioxidutsläppet. År$1990$1990 var koldioxidutsläppet $7,29\cdot10^7$7,29·10⁷ ton.
År $2011$2011 hade utsläppet minskat till $6,63\cdot10^7$6,63·10⁷ ton. Anta att koldioxidutsläppet har minskat enligt det exponentiella sambandet

 $y=C\cdot a^x$y=C·a^x 

där $y$y motsvarar koldioxidutsläppet i ton och $x$x motsvarar antalet år efter $1990$1990.

a) Bestäm konstanten $C$C i sambandet ovan. Endast svar krävs.

b) Beräkna den årliga procentuella minskningen mellan år $1990$1990 och år $2011$2011.

Målet är att minska koldioxidutsläppet med $40\text{ }\%$40 % från år $1990$1990 till år $2020$2020.

c) Anta att den årliga procentuella minskningen är $1\text{ }\%$1 % från och med år $2011$2011 då utsläppet var $6,63\cdot10^7$6,63·10⁷ ton. Hur många år kommer det att ta, räknat från år $2011$2011, innan koldioxidutsläppet är $40\text{ }\%$40 % lägre än år $1990$1990?

Under senare tid har vildsvinsstammen i Sverige fördubblats vart tredje år.

Vildsvinsstammen kan beskrivas med en exponentiell modell  $y=15\text{ }000\cdot2^{\frac{x}{3}}$y=15 000·2^x3   där $y$y är antalet vildsvin och $x$x är antal år efter år $2000$2000. 

a) Hur många vildsvin fanns det år $2010$2010 enligt modellen?

b) Hur många procent per år växer vildsvinsstammen enligt modellen?

Koncentrationen av vätejoner i naturen påverkar både vattnet och marken omkring oss. pH-skalan som beskriver denna koncentration är logaritmisk.

Sambandet mellan pH-värdet och vätejonkoncentrationen kan skrivas
  $y=-\lg x$y=−lgx 
där $y$y är pH-värdet och $x$x är vätejonkoncentrationen i mol/dm$^3$³.

a) Bestäm pH-värdet då vätejonkoncentrationen är $1,2\cdot10^{-4}$1,2·10⁻⁴ mol/dm$^3$³.     Endast svar krävs.

b) Under en laboration mättes pH-värdet i ett regnvattenprov till $5,60$5,60.

    Beräkna koncentrationen av vätejoner i regnvattenprovet.

Antalet bakterier i en bakteriekultur växer exponentiellt. Med hur många procent per timme ökar antalet bakterier om det var $500$500 bakterier till att börja med och det efter ett dygn är ca $3000$3000 bakterier?

Ange svaret med en decimals noggrannhet och med enheten ”procent per timme”.

Magnituden M är ett mått på hur starkt en stjärna lyser och kan beräknas med hjälp av formeln  $M-5=a-5\text{lg}\left(\frac{r}{3\cdot10^{16}}\right)$M−5=a−5lg(r3·10¹⁶ )  där $r$r är avståndet i meter från jorden till stjärnan och a en konstant för en specifik stjärna, se tabell nedan.

a) Beräkna magnituden M för stjärnan Sirius A.

b) Beräkna avståndet r till stjärnan Proxima Centauri.

Värdet på en känd tavla tros fördubblas på $13$13 år. Efter hur många år har värdet fyrdubblats?

Avrunda och svara i hela år.

Shanghai i Kina är en av de städer som växer snabbast i världen. Mellan år $2000$2000 och $2010$2010 ökade befolkningen med nästan $66\text{ }\%$66 %.

Om tillväxthastigheten fortfarande är densamma, hur många år tar det för stadens befolkning att fördubblas?

Avrunda till hela år.

I friidrott tävlar deltagarna i tiokamp i tio olika grenar. För att kunna summera resultaten från dessa grenar räknas resultatet i varje gren om till poäng.

Vid poängberäkning i grenen spjut används följande formel:

 $P=10,14\left(D-7\right)^{1,08}$P=10,14(D−7)^1,08 

där $P$P är antalet poäng och $D$D är uppmätt resultat i meter.

Ashton Eaton, världsrekordhållare i tiokamp, vann OS-guld i London $2012$2012.
I spjut satte han då personligt rekord med ett kast på $61,96$61,96 m.

a) Beräkna hur många poäng Eaton fick i spjut med sitt kast på $61,96$61,96 m.

Eatons totalpoäng vid OS i London var $8869$8869 poäng. Silvermedaljören Trey Hardee fick totalt $8671$8671 poäng. I spjut kastade Hardee $66,65$66,65 m.

b) Hur långt hade Hardee behövt kasta i spjut för att slå Eatons totalpoäng $8869$8869? Utgå från att hans resultat i de andra grenarna är oförändrade.

Under $30$30 år, mellan $1985-2015$1985−2015, så skövlades $15\text{ }\%$15 % av Amazonas regnskog.

Om regnskogen skövlas i samma takt – hur lång tid dröjer det innan hälften av regnskogen försvunnit?

Avrunda till hela tiotal år.

Bananflugor förökar sig väldigt snabbt. En hona lägger ca $500$500 ägg åt gången och det tar ca $10$10  dagar för äggen att förvandlas via larv och puppa till färdig fluga. 
Man kan anta att ungefär hälften av nästa generation är honor, alla ägg blir dock inte flugor och många dör innan de blir könsmogna.

En flugkolonis förökning skulle därför kunna beskrivas med modellen  $f(x)=2\cdot218^{\frac{x}{3}}$ƒ (x)=2·218^x3   där $f(x)$ƒ (x) motsvarar antalet bananflugor efter $x$x dygn.

Hur lång tid skulle det potentiellt kunna ta innan en frukt med en honas ägg i, ökat till $1\text{ }000\text{ }000$1 000 000 om omständigheterna är gynnsamma?

Ange svaret med en decimals noggrannhet.

På hösten då fisket av hummer inleds, auktioneras fångsten ut till högstbjudande.
Jämförpriset i kr/kg kan då bli väldigt högt.

Vid auktionen år $2009$2009 blev högsta jämförpriset för hummer  $1130$1130 kr/kg och år $2012$2012 hade det högsta jämförpriset ökat till $102\text{ }000$102 000 kr/kg.

Anta att ökningen av högsta jämförpriset har varit exponentiell.

a) Med hur många procent per år har högsta jämförpriset på hummer ökat?

b) Vad borde högsta jämförpriset för hummer bli vid auktionen år $2014$2014 om det skulle följa samma årliga procentuella utveckling som under perioden år $2009$2009 till år $2012$2012?

Sid har varm choklad i en kopp. Efter hur många minuter är temperaturen $63°C$63°C om temperaturen följer modellen $T\left(x\right)=84\cdot0,75^x$T(x)=84·0,75^x under de fem första minuterna?

 $T(x)$T(x) anger temperaturen i koppen och $x$x motsvarar antalet minuter sedan chokladen hälldes upp i koppen.

Försök först lösa problemet utan räknare.

Studera följande tre fall. Vilket av fallen kan matematiskt beskrivas med en exponentialfunktion?

Skriv upp en matematisk modell för vart och en av fallen när du läser igenom dem.

Fall 1: Ann vill beräkna $t$t stycken tröjors totala  kostnad, $y$y kr, efter att en rabatt på $x\%$x% har dragits av från det ursprungliga priset $C$C kr. Sätt upp en matematisk modell som hjälp för att beräkna den totala kostnaden y kr.

Fall 2: Zoe vill beräkna hur lång tid, $t$t timmar, det tar innan kaffet har temperaturen $y°C$y°C om temperaturen förändras med förändringsfaktorn $x$x varje timme och hade starttemperaturen $C\text{ }°C$C °C. Sätt upp en matematisk modell som hjälp för att beräkna antalet timmar innan temperaturen är $y\text{ }°C$y °C.

Fall 3:  Max vill beräkna förändringsfaktorn $x$x som motsvarar den konstanta procentuella ökning som hans aktier behöver hålla för att han ska ha dubblat sin insats $C$C kronor efter $t$t månader. Sätt upp en matematisk modell som hjälp för att beräkna den procentuella ökningen.

Träna även på att motivera ditt svar.

Ett exemplar av ett känt datorföretags första datormodell såldes under år $2013$2013. I samband med försäljningen kunde man läsa följande i en tidningsnotis:

Priset för datorn har därmed tusenfaldigats, sedan den ursprungligen såldes $1976$1976. Den tillverkades för hand av företagets båda grundare, ledaren Steve Jobs och programmeraren Steve Wozniak, hemma i Jobs garage. ( TT 26 maj 2013)

Enligt tidningsnotisen såldes datorn år $2013$2013 till ett pris som var tusen gånger så stort som priset år $1976$1976. Anta att den procentuella prisökningen varit lika stor varje år. Beräkna den årliga procentuella prisökningen mellan år $1976$1976 och år $2013$2013 för datorn.

Det största djur som någonsin funnits på jorden är blåvalen. Under de senaste hundra åren har antalet blåvalar minskat kraftigt på grund av jakt.

År $1900$1900 fanns det ungefär $239\text{ }000$239 000 blåvalar i världshaven och hundra år senare var antalet ungefär $2\text{ }300$2 300. Anta att antalet blåvalar minskar exponentiellt med tiden.

Figuren visar graferna till tre funktioner $f$ƒ  , $g$g och $h$h där $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) , $y=g\left(x\right)$y=g(x) och $y=h\left(x\right)$y=h(x). De tre funktionerna representerar tre olika modeller för hur blåvalarnas antal kan ha minskat under $1900$1900 -talet.