00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2
/  Tillämpning – Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Tillämpning - Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

I den här lektionen går vi inte igenom någon ny teori utan fokuserar på hur man kan tillämpa potensekvationer, exponentialekvationer och logaritmer i vardagsproblem.

Tillämpning Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Många tillämpningar handlar om upprepad procentuell förändring. Därför är det viktigt att du känner till begreppet förändringsfaktor.

Beroende på om det är förändringsfaktorn eller antal förändringar som är okänt använder du olika lösningsmetoder.

skillnaden på potensfunktion och Exponentialfunktion

  • Om variabeln är i basen är det en potensfunktion.
  • Om variabeln är i exponenten är det en exponentialfunktion.

Tips vid problemlösning

Det är klokt att att ha en strategi vid sin problemlösning. Det är också viktigt att man försöker förstå alla begrepp och informationen som problemet innehåller. Man kan behöva läsa uppgiften flera gånger för att bli säker på sin sak. Ett exempel på en strategi kan vara denna.

Strategi vid Problemlösning

  1. Skriv ner den information du fått i några punkter
  2. Skriv ner huvudfrågan till problemet och uppskatta ett rimligt svar
  3. Om det är givande; rita en figur eller graf som beskriver ditt problem
  4. Teckna ett uttryck eller en ekvation från informationen du fått i uppgiften
    4b. Om du inför egna variabler så ange vad de motsvarar med enhet
  5.  Beräkna värdet eller lös ekvationen
  6. Ange ett tydligt svar, med enhet om det anges, och jämför ditt svar med huvudfrågan och det du uppskattat som ett rimligt svar

Ju svårare problem ju viktigare blir det att du jobbar systematiskt och strukturerat med din problemlösning. Det kan tyckes ta lång tid och vara omständligt, men vill du nå framgång i problemlösning är det nödvändigt att det får ta tid och genomarbetas noggrant!

Tillämpning med Exponentialfunktioner

I tillämpning med exponentialekvationer söker vi ofta beräkna ett värde eller bestämma ett okänt antal förändringar. Ofta behandlar uppgifterna frågor om

  • hur stort funktionsvärdet var i början
  • hur lång tid dröjer det innan funktionen uppnår ett visst värde
  • vilket år funktionen antar ett visst värde

De olika variablerna och konstanterna i funktionen betyder oftast följande.

Begrepp

yyy  motsvarar funktionsvärdet
CCC motsvarar startvärdet, funktionens värde när  x=0x=0x=0
aaa motsvarar förändringsfaktorn
xxx  motsvarar ofta antalet förändringar

Notera att CCC och aaa är konstanter i funktioner. Det vill säga det har ett numeriskt värde, tillexempel 100100100 eller 1,341,341,34. Det är bara xxx och  yyy som är variabler.

Vi tittar på ett exempel på Tillämning med exponentialfunktioner.

Exempel 1

När Dora fyllde ett år satte hennes mormor och morfar in 15 00015\text{ }00015 000 kr på ett bankkonto med räntan 1,5%1,5\%1,5% per år.

Exponentiell funktion skrivbord

a) Gör en matematisk modell som beskriver hur summan yyy kronor förändras med avseende på tiden ttt år.

b) Beräkna algebraiskt hur många år det dröjer innan summan uppgår till 25 00025\text{ }00025 000 kronor förutsatt att räntan är den samma hela tiden.

Avrunda till svar till hela år.

Lösning

a) Vi gör en matematisk modell som beskriver situationen, där summan yyy kronor förändras med avseende på tiden ttt år och där insatsen är 15 00015\text{ }00015 000 kr med räntan 1,5%1,5\%1,5% per år. Funktionen kan då se ut så här;

y=15 0001,015ty=15\text{ }000\cdot1,015^ty=15 000·1,015t , eftersom att en ökning med 1,5%1,5\%1,5% per år motsvarar förändringsfaktorn 1,0151,0151,015 och vi får summan på kontot genom att startvärdet multipliceras ttt antal gånger med förändringsfaktorn.

b) Vi söker det värde på exponenten ttt som ger att funktionens värde blir 25 00025\text{ }00025 000 kronor. Vi får då ekvationen
25 000=15 0001,015t25\text{ }000=15\text{ }000\cdot1,015^t25 000=15 000·1,015t

Vi ska lösa den algebraiskt och använder då logaritmen.

25 000=15 0001,015t25\text{ }000=15\text{ }000\cdot1,015^t25 000=15 000·1,015t         dividera båda led med 15 00015\text{ }00015 000 och förkorta VL

53\frac{5}{3}53  =1,015t=1,015^t=1,015t                                 logaritmera båda led

lg\lglg53\frac{5}{3}53  =tlg1,015=t\cdot\lg1,015=t·lg1,015                  dividera båda led med lg1,015\lg1,015lg1,015

t=t=t= lg53lg1,015\frac{\lg\frac{5}{3}}{\lg1,015}lg53 lg1,015  

t34t\approx34t34

Det tar ca 343434 år innan det är 25 00025\text{ }00025 000 kr på kontot.

Tillämpning med Potensfunktioner

I tillämpning med potensfunktioner söker vi beräkna ett värde eller bestämma en okänt procentuell, ofta upprepad, förändring. Ofta behandlar uppgifterna frågor om

  • hur stort är den årliga procentuella förändringen
  • hur stor är förändringen av värdet under en viss tid
  • förändringen är konstant lika mycket (linjär förändring vilket också är en potensfunktion)

De olika variablerna och konstanterna i funktionen betyder oftast följande.

yyy  motsvarar funktionsvärdet
CCC motsvarar startvärdet, funktionens värde när  x=0x=0x=0
xxx motsvarar förändringsfaktorn
aaa motsvarar ofta antalet förändringar

Notera igen att CCC och aaa är konstanter i funktioner. Det vill säga det har ett numeriskt värde, tillexempel 5 0005\text{ }0005 000  eller 161616. Det är bara xxx och  yyy som är variabler.

Vi tittar på ett exempel på Tillämning med potensfunktioner.

Exempel 2

När Dora fyllde ett år satte hennes mormor och morfar in 15 00015\text{ }00015 000 kr på ett bankkonto.

Hur hög ränta måste hon få för att summan på kontot ska ha ökat till 25 00025\text{ }00025 000 kr när hon fyller 353535 år?

Ange svaret med en decimals noggrannhet.

Lösning

Vi tecknar en ekvation som beskriver situationen. Startvärdet 15 00015\text{ }00015 000 ska multipliceras 343434 antal gånger med förändringsfaktorn xxx och då bli lika med 25 00025\text{ }00025 000 kronor. Vi får ekvationen

15 000x34=25 00015\text{ }000\cdot x^{34}=25\text{ }00015 000·x34=25 000     dividera båda led med 15 00015\text{ }00015 000 och förkorta HL

x34=x^{34}=x34=53\frac{5}{3}53                             upphöj båda led till 134\frac{1}{34}134  

x=x=x= (53)134\left(\frac{5}{3}\right)^{\frac{1}{34}}(53 )134 

x1,015x\approx1,015x1,015

vilket motsvarar en årlig ränta på ca 1,51,51,5  %

Finn svaret med ekvationslösning

Du kan själv välja när du vill använda grafisk eller algebraisk lösning när du löser ekvationerna. Det bästa är att till en början växla mellan båda lösningsalternativen på många uppgifter för att blir riktigt säker och hitta sambanden mellan dessa två olika metoder.

Algebraisk lösning

För att lösa en exponentialekvation algebraiskt måste vi använda oss av logaritmer. Hur man gör det gick i igenom i lektionen exponentialekvationer och logaritmer. Sammanfattningsvis gäller att

10x=y10^x=y10x=y     ⇔      x=lgyx=\lg yx=lgy   där  y>0y>0y>0

lgx p=plgx\lg x\text{ }^p=p\cdot\lg xlgx p=p·lgx

Hur man gör när man löser en potensekvation gick i igenom vi lektionen Potensekvationer. Sammanfattningsvis gäller att

ann=a\sqrt[n]{a^n}=anan=a

(an)1n\left(a^n\right)^{\frac{1}{n}}(an)1n  =a=a=a

a1n=ana^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}a1n =na

Grafisk lösning

Med hjälp av digitala hjälpmedel kan vi finna lösningen genom att skriva in VL och HL som två olika funktioner och därefter använda verktygets  funktion för att bestämma deras skärningspunkt. Ekvationens lösning motsvaras av skärningspunktens xxx -värdet. Hur man gör det gick i igenom i lektionen GeoGebra och Grafisk lösning.

Exempel i videon

  • Ett rymdskepps höjd yyy över marken i ett tidsintervall kan beskrivas med funktionen y=5001,22ty=500\cdot1,22^ty=500·1,22t där ttt är tiden i sekunder efter uppskjutning. Efter hur många sekunder befinner sig rymdskeppet på 2000 meters höjd?
  • Ett företags aktiekurs sjunker exponentiellt med lika många procent under 3 år. År 2000 var den värd 82 kr och tre år senare 56 kr. Med hur
    många procent sjönk den per år?
  • Den radioaktiva isotopen Kol-14 har en halveringstid på 5 730 år. Forskaren Rodriguez har hittat ett fossil av ett djur där andelen Kol-14 var 10 % av ursprungsnivån. Hur gammalt är fossilet?