Kapiteltest - Derivatan och Deriveringsregler Ma3b

Figuren visar grafen till en funktion och dess tangent i punkten $P$P . 

Vilket värde har funktionens derivata för $x$x -värdet i punkten $P$P?

Nedan ges några olika situationer som kan beskrivas med en funktion. Vilket av alternativen beskrivs bäst med en diskret funktion?    

Derivera  $f(x)=3x^4+2x-5$ƒ (x)=3x⁴+2x−5 

Derivera  $f(x)=e^{-2x}+2$ƒ (x)=e^−2x+2 

Bestäm derivatan  $f’\left(-1\right)$ƒ ’(−1)  då  $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{3x^6}{2}-\frac{x^4}{2}$3x⁶2 −x⁴2   

Köping var en liten stad där antalet invånare hade sjunkit de senaste åren. Kommunstyrelsen hade önskan att nu öka antalet invånare igen, med hjälp av olika satsningar i staden. Man uppskattade med att antalet invånare skulle kunna öka enligt modellen $N\left(t\right)=16\text{ }000\cdot e^{0,0198t}$N(t)=16 000·e^0,0198t , där  $N\left(t\right)$N(t) motsvarar antalet personer och $t$t antal år efter $2018$2018.

a) Beräkna och tolka $N\left(10\right)$N(10). 

b) Beräkna och tolka $N\text{ }’\left(10\right)$N ’(10). 

Bestäm derivatan till  $f'(4)$ƒ ´(4)  då  $f(x)=x^2+x$ƒ (x)=x²+x med hjälp av derivatans definition.

Figuren visar grafen till funktionen $f$ƒ . Är funktionen kontinuerlig för alla $x$x? Motivera ditt svar så matematiskt du kan.

Antalet besökare som passerar entrén på en nöjespark varierade enligt modellen $A\left(x\right)=-0,1x^3+x^2+2x$A(x)=−0,1x³+x²+2x i intervallet  $0\le x\le13$0≤x≤13  där $A\left(x\right)$A(x) motsvarar antalet hundra personer i parken $x$x timmar efter kl. $10.00$10.00 på förmiddagen.

Med vilken hastighet ökar antalet besökare kl  $12.00$12.00. 

Beräkna följande gränsvärden

a) $\lim\limits_{x \to 0}$   $\frac{8x-4x^2}{2x}$8x−4x²2x  

b) $\lim\limits_{x \to 2}$  $\frac{x^2-4x+4}{x-2}$x²−4x+4x−2  

c) $\lim\limits_{x \to \infty}$ $\frac{81x^2}{x\left(9+9x\right)}$81x²x(9+9x)  

Derivera  $f(x)=$ƒ (x)= $\sqrt{5x}+\sqrt{5}$√5x+√5.

Ange det exakta svaret.

Bestäm den procentuella förändringen hos funktionen $f\left(x\right)=80e^{-0,33x}$ƒ (x)=80e^−0,33x  med avseende på $x$x .

Anders fick tipset på en fond, vars värde kunde beskrivas med en exponentiellt växande funktion.

Ange en funktion för värdeökningen och bestäm när fondens värde ökade med $1\text{ }000$1 000 kronor i månaden om den kostade $10\text{ }000$10 000 kr när den köptes och såldes för $75\text{ }000$75 000 kronor $5$5 år senare.

Lös ekvationen utan räknare

 $\ln\left(3-2x\right)=0$ln(3−2x)=0 

Din vän häller upp en kopp te för att värma sig lite. Temperaturen i luften där din vän befinner sig är $18$18 °C. Hon mäter temperaturen på teet i koppen direkt när hon häller upp teet och sedan igen efter $5$5 minuter.

Hon tänker teckna en matematisk modell från sina mätvärden. Hon bestämmer sig för en exponentialfunktion.

Hon sätter $T\left(t\right)$T(t) till teets temperatur i °C och $t$t till tiden i minuter efter att det hälldes upp i koppen. Temperaturen var $80$80 °C vid första mätningen och $61$61 °C vid andra mätningen.

Bestäm och tolka $T’\left(3\right)$T’(3) samt ange huruvida du anser den matematiska modellen vara rimlig eller ej.

Ange en funktion  $f$ƒ  som inte är definierad för  $x=0$x=0  och som uppfyller att $\lim\limits_{x  \to 0} f(x)=5$