Nationellt prov Matematik 2b vt2012 DEL I och II

a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren.

b) Rita i koordinatsystemet en rät linje med riktningskoefficienten $k=-1$k=−1 

Förenkla uttrycket $\left(x+5\right)\left(x-5\right)+25$(x+5)(x−5)+25 så långt som möjligt.

Lös ekvationerna

a)  $x\left(x+7\right)=0$x(x+7)=0 

b)  $\lg x=3$lgx=3 

c)  $2^3\cdot2^x=2^{2x}$2³·2^x=2^2x 

Vilken av följande ekvationer A-E har icke-reella lösningar?

A.  $x^2=16$x²=16 

B.  $x^2+6=0$x²+6=0 

C.  $x^2=0$x²=0 

D.  $x^2-\sqrt{5}=0$x²−√5=0 

E.  $x^2-$x²− $\frac{9}{4}=$94 = $0$0

Uppgiften ingår från och med ht21 istället i Ma4.

Anna har $7$7 km att cykla från hemmet till skolan. Vanligtvis cyklar hon med hastigheten $0,35$0,35 km/min. Teckna en funktion som anger hur lång sträck $y$y km hon har kvar till skolan då hon cyklat i $x$x minuter.

För en andragradsfunktion gäller:

• Funktionen har ett nollställe för $x=4$x=4 
• Funktionen har sitt största värde för $x=1$x=1 

För vilket värde p $x$x har funktionen sitt andra nollställe?

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

a)  $\frac{x^{\frac{3m}{7}}}{x^{\frac{2m}{7}}}$x^3m7 x^2m7   

b)  $\frac{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{x}+\sqrt{x}}$√x·√x·√x√x+√x+√x  

I koordinatsystemet visas graferna till den linjära funktionen $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) och andragradsfunktionen $y=g\left(x\right)$y=g(x) 

Avläs i figuren och besvara frågorna.

a) Bestäm $g\left(2\right)$g(2) 

b) För vilka värden på $x$x gäller att $f\left(x\right)$ƒ (x)$<$<$g\left(x\right)$g(x) 

c) Ange ekvationen för en rät linje som inte skär någon av graferna till funktionerna.

I början av år 2011 köpte Matilda en dator för $10\text{ }000$10 000 kr. Datorns värde kan beskrivas med  $V\left(t\right)=10\text{ }000\cdot0,60^t$V(t)=10 000·0,60^t där $V$V är datorns värde i kr och $t$t är tiden i år efter inköpet.

a) Med hur många procent minskar datorns värde per år?

b) Teckna en ny funktion som anger datorns värde $V$V i kr som funktion av tiden $t$t, där tiden nu istället ska räknas i månader efter inköpet.

Ett ekvationssystem består av två ekvationer där varje ekvation innehåller två variabler $x$x och $y$y.

a) Den ena ekvationen är $3x+2y=12$3x+2y=12 
Ge ett exempel på hur den andra ekvationen kan se ut så att ekvationssystemet saknar lösningar.

b) Den ena ekvationen är fortfarande $3x+2y=12$3x+2y=12 
Ge ett exempel på hur den andra ekvationen kan se ut så att ekvationssystemet endast får lösningen $\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$

Lös ekvationssystemet $\begin{cases} 2x-y=-9 \\ 5x+2y=0\end{cases}$

Lös ekvationerna med algebraisk metod.

a)  $x^2-4x-45=0$x²−4x−45=0 

b)  $\left(x+1\right)^2=x+1$(x+1)²=x+1 

Thales från Miletos var en grekisk matematiker som levde för 2600 år sedan. Han formulerade en sats med följande innebörd:

Varje triangel som är inskriven i en cirkel har en rät vinkel om en av triangelns sidor är diameter i cirkeln.

Triangeln $ABC$ABC är inskriven i en cirkel på ett sådant sätt. Sidan $AC$AC är en diameter i cirkeln. Punkten $M$M är mittpunkt på sträckan $AC$AC . I figuren är även sträckan $BM$BM inritad.

a) Förklara varför de två vinklarna betecknade med $x$x är lika stora.
b) Visa, utan att använda randvinkelsatsen, att Thales sats är korrekt.

I ekvationen  $x^2-\left(a-1\right)^2=0$x²−(a−1)²=0  är  $a$a en konstant. 

Lös ekvationen och svara på så enkel form som möjligt.

På linjen $y=2x-5$y=2x−5 ligger en punkt $P$P i första kvadranten. Avståndet mellan punkten $P$P och origo är $10$10 längdenheter. Bestäm $x$x-koordinaten för punkten $P$P.
Svara exakt.