Nationellt prov Matematik 3b ht 2012 DEL B och C

Vilken är den fjärde termen i den geometriska summan $2+2\cdot3+2\cdot3^2+$2+2·3+2·3²+ … ?

För vilket värde på $x$x är uttrycket $\frac{3x-21}{6-x}$3x−216−x  inte definierat?

Vilket av alternativen nedan visar ett polynom?

Hur många reella lösningar har ekvationen $(x-1)(x^2-4)=0$(x−1)(x²−4)‍=0 ?

Derivera

a)  $f(x)=3x^4+6x+10$ƒ (x)=3x⁴‍+6x+10

b)  $f(x)=e^x+ex$ƒ (x)=‍e^x+ex

c)   $f\left(x\right)=$ƒ (x)=  $\frac{2}{3x}+\frac{3x}{2}$23x +3x2  

Nedan ges några olika situationer som kan beskrivas med en funktion. Vilket av alternativen beskrivs bäst med en diskret funktion?

Figuren visar grafen till derivatan $f´$ƒ ´ för en tredjegradsfunktion $f$ƒ  . 

a) För vilket värde på $x$x har grafen till $f$ƒ  en minimipunkt?

b) För vilka värden på $x$x är $f$ƒ  avtagande?

Ange alla funktioner som har egenskapen att $f(x)=f´(x)$ƒ (x)=ƒ ´(x) där $f(x)\ne0$ƒ (x)≠0.

Bestäm

a) $\lim\limits_{x \to 0} (e^x+7)$

b) $\lim\limits_{x \to ∞ }$  $\sqrt{\frac{16x}{4x+9}}$√16x4x+9  

I figuren visas grafen till tredjegradsfunktionen $f$ƒ  . Använd grafen för att besvara
följande frågor.

a) Lös ekvationen $f(x)+6,5=0$ƒ (x)+‍6,5=0.

b) För funktionen $g$g gäller att $g(x)=f(x)+k$g(x)=‍ƒ (x)+k där $k$k är en positiv konstant. För vilka värden på $k$k har ekvationen $g(x)=0$g(x)=‍0 endast en reell lösning?

Beräkna $\int_1^2$∫₁² $6x^2dx$6x²dx algebraiskt.

För funktionen f gäller att $f(x)=x^3-3x^2$ƒ (x)=x³−3x². Bestäm med hjälp av derivata koordinaterna för eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter för funktionens graf.

Bestäm också karaktär för respektive punkt, det vill säga om det är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

För funktionen $f$ƒ  gäller att $f(x)=5x^2+3x$ƒ (x)=5‍x²+3x. Bestäm det värde på $x$x där grafen till $f$ƒ  har lutningen $18$18.

För funktionen $g$g gäller att $g(x)=x^2+8x$g(x)=x²+8x. Grafen till $g$g har en tangent i den punkt där $x=6$x=6.

Bestäm koordinaterna för tangentens skärningspunkt med  $x$x-axeln.

Förenkla så långt som möjligt $\frac{(x-3)(x+2)}{2x-6}$(x−3)(x+2)2x−6  

Förenkla så långt som möjligt $\frac{x^2+8x+16}{2x^2-32}$x²+8x+162x²−32  

$F$F är en primitiv funktion till $f$ƒ . I figuren visas grafen till funktionen $F$F. Bestäm $\int_{-2}^5$∫₋₂⁵ $f\left(x\right)dx$ƒ (x)dx

Bestäm derivatan till $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{A}{x}$Ax   med hjälp av derivatans definition.