Nationellt prov Matematik 3b vt 2022 del B och C

Ett av alternativen är ett exempel på en primitiv funktion till funktionen $f\left(x\right)=x^3-2x$ƒ (x)=x³−2x. Vilket?

Den $1$1 augusti varje sommar inventeras (räknas) antalet gråsälar i Östersjön. Tabellen visar resultatet

Använd tabellen och bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten för antalet gråsälar från den $1$1 augusti $2015$2015 till den $1$1 augusti $2018$2018.

Figuren visar grafen till funktionen $f$ƒ .

Använd grafen och ange vilket av alternativen som är det bästa värdet till $f\text{ }’\left(2\right)$ƒ  ’(2).

De $100$100 första talen i en talföljd bildar den geometriska summan $S$S, där
$S=$S=$\frac{2\left(5^{100}-1\right)}{4}$2(5¹⁰⁰−1)4 

a) Bestäm det första talet i talföljden

b) Bestäm det fjärde talet i talföljden

Figuren visar två räta linjer och sex punkter $A-F$A−F 

En av punkterna $A-F$A−F ligger i området som begränsas av $\begin{cases} x>0 \\ y<5-x\\y>x+1 \end{cases}$

Vilken?

Bestäm $f’\left(x\right)$ƒ ’(x) då

a)  $f\left(x\right)=4x^3-12x$ƒ (x)=4x³−12x 

b)  $f\left(x\right)=ax^2$ƒ (x)=ax²$-$−$\frac{4}{x}$4x 

c)  $f\left(x\right)=$ƒ (x)=$\frac{1}{3^{-2x}}$13^−2x   

Lös ekvationen  $3x^4-8x=2x^4$3x⁴−8x=2x⁴ 

Förenkla uttrycken så långt som möjligt.

a)  $\frac{5x^3-x^6}{x^3}$5x³−x⁶x³ 

b)  $\frac{2x^2+12x+18}{2\left(x^2-9\right)}$2x²+12x+182(x²−9)  

c)  $\frac{2e^x\cdot e^{-ax}-e^x}{e^{-ax}-0,5}$2e^x·e^−ax−e^xe^−ax−0,5   

Figuren visar grafen till funktionen $f$ƒ  .

Ett av alternativen $A-F$A−F visar grafen till funktionens derivata $f\text{ }’$ƒ  ’. Vilket?

Figuren visar huvuddragen av grafen till funktionen $p$p.

Bestäm för vilka värden på $x$x som

a)  $p\text{ }’\left(x\right)<0$p ’(x)<0 

b) Uttrycket  $\frac{p\left(x\right)}{p\text{ }’\left(x\right)}$p(x)p ’(x)  inte är definierat

Figuren visar grafen till funktionen $f$ƒ .

Bestäm ett värde på $a$a så att $\int_{-1}^af\text{ }'(x)\text{ }dx=3$∫₋₁^aƒ  ’(x) dx=3 

Tilde deriverar funktionen  $f\left(x\right)=e^{2x}$ƒ (x)=e^2x och ställer upp kvoten $\frac{f\text{ }’\left(x\right)}{f\left(x\right)}$ƒ  ’(x)ƒ (x) .

Hon påstår följande: ”För alla värden på $x$x kommer kvoten alltid att få värdet $2$2”.

Har Tilde rätt? Motivera ditt svar

Beräkna $\int^2_13x^2\text{ }dx$∫²₁3x² dx.

Funktionen $f$ƒ  ges av  $f\left(x\right)=x^3-3x^2+7$ƒ (x)=x³−3x²+7 

Använd derivata och bestäm koordinaterna för eventuella maximi-, minimi och terrasspunkter för funktionens graf.

Avgör också, för varje sådan punkt, om det är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

Figuren visar ett gråmarkerat område som begränsas av grafen till funktionen g, den räta linjen $x=3$x=3 samt de positiva koordinataxlarna.

Funktionen $g$g ges av $g\left(x\right)=5+px-x^2$g(x)=5+px−x² där $p$p är en konstant.

Bestäm $p$p så att det gråmarkerade områdets area blir $24$24 areaenheter.

Funktionen $f$ƒ  ges av $f\left(x\right)=x^3+3x$ƒ (x)=x³+3x 
Jaana påstår att funktionen $f$ƒ  har två extrempunkter.

Har Jaana rätt? Motivera ditt svar

Funktionen $f$ƒ  ges av   $f\left(x\right)=\frac{5}{a^2x}$ƒ (x)=5a²x  där $x\ne0$x≠0 och $a\ne0$a≠0.

Bestäm $f'\left(x\right)$ƒ ´(x) med hjälp av derivatans definition. 

Figuren visar grafen till tredjegradsfunktionen $f$ƒ  som ges av $f\left(x\right)=x^3$ƒ (x)=x³ och en tangent till grafen i den punkt där $x=a$x=a. Tangenten, den positiva $x$x -axeln och linjen $x=a$x=a begränsar ett område som har formen av en triangel.

Bestäm $a$a så att triangeln får arean $1,5$1,5 areaenheter.