Nationellt Prov Matematik 3c vt 2014 DEL B och C

För funktionen $f$ƒ  gäller att $f\left(x\right)=3x^4-12x$ƒ (x)=3x⁴−12x.

Bestäm $f´\left(x\right)$ƒ ´(x) 

I figuren visas grafen till en tredjegradsfunktion.

Rita i figuren

a) en tangent till kurvan i punkten  $P$P.

b) en sekant som går genom punkten $Q$Q.

Punkten $P$P ligger i andra kvadranten på enhetscirkeln, se figur

Hur stor är vinkeln $v$v om $P$P har $y$y-koordinaten $\frac{\sqrt{3}}{2}$√32  

Förenkla uttrycken så långt som möjligt.

a)  $\frac{\left(x+3\right)^{10}}{\left(x+3\right)^5}$(x+3)¹⁰(x+3)⁵  

b)  $\frac{a}{\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}}$a12a +12a   

Det radioaktiva ämnet polonium-210 sönderfaller till bly-206. Vid sönderfallet bildas även helium-4. I ett visst preparat kan massan som finns kvar av polonium-210 beskrivas med sambandet $m\left(t\right)=2000e^{-0,005t}$m(t)=2000e^−0,005t där $m$m är massan av polonium-210 i µg och $t$t är tiden i dygn räknat från mätningens början.

Vilket av alternativen A-H nedan anger förändringshastigheten för massan polonium-210 vid tiden 1000 dygn?

Lös ekvationen $\left|x+2\right|=5$|x+2|=5

För en funktion $f$ƒ  gäller at $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x). Grafen till funktionen har en tangent i den punkt där $x=5$x=5. Tangentens ekvation är $3x+2y-10=0$3x+2y−10=0.

a) Bestäm $f´\left(5\right)$ƒ ´(5) 

b) Bestäm $f\left(5\right)$ƒ (5) 

Mobiltelefonabonnemanget RingUpp har en fast månadsavgift på $49$49 kr och en öppningsavgift på $69$69 öre per samtal. Inga andra avgifter tillkommer.

Antag att du ringer $x$x samtal under en viss månad. Den totala kostnaden i kr under denna månad är då $0,69x+49$0,69x+49 

a) Skriv ett uttryck för kostnaden per samtal under månaden.

b) Kostnaden per samtal under en månad närmar sig en undre gräns då antalet samtal ökar. Ange denna gräns. Svara i kronor.

Grafen till funktionen $f$ƒ  är en rät linje. Funktionen $f$ƒ  har nollstället $x=3$x=3 

Det finns flera värden på konstanterna $a$a och $b$b så att $\int_a^bf\left(x\right)dx=0$∫_a^bƒ (x)dx=0 där $a$a < $b$b 

Ge ett exempel på möjliga värden på $a$a och $b$b som uppfyller villkoren ovan.

Bestäm värdet på konstanten $a$a så att

 $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{a}{2+\frac{4}{x}}\right)=5$lim_x→∞(a2+‍4x  )=5 

Figuren visar graferna till funktionerna $f$ƒ  och $g$g som är definierade i intervallet $-5\le x\le9$−5≤x≤9 

Funktionen $h$h bildas som summan av $f$ƒ  och $g$g, det vill säga $h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$h(x)=ƒ (x)+g(x).

Använd graferna för att lösa följande uppgifter.

a) Bestäm $h\left(2\right)$h(2) 

b) Bestäm största värdet för funktionen $h$h i intervallet  $-5\le x\le9$−5≤x≤9 

c) Bestäm $h’\left(5\right)$h’(5) 

En sten släpps från hög höjd. Stenens hastighet kan beskrivas med sambandet $v\left(t\right)=10t$v(t)=10t där $v$v är stenens hastighet i m/s och $t$t är tiden i s efter att stenen släpps.

a) Beräkna $\int_1^210t\text{ }dt$∫₁²10t dt algebraiskt.

b) Beskriv med ord vad integralens värde betyder i detta sammanhang.

För funktionen $f$ƒ  gäller att  $f\left(x\right)=x^3-12x$ƒ (x)=x³−12x.
Bestäm med hjälp av derivata koordinaterna för eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter för funktionens graf.

Bestäm också karaktär för respektive punkt, det vill säga om det är en maximi-, en minimi- eller en terrasspunkt.

Lös ekvationen $\frac{1}{x\left(1-x\right)}=1+\frac{1}{1-x}$1x(1−x) =1+11−x  

Bestäm en andragradsfunktion $f$ƒ  som uppfyller villkoret att  $f´\left(3\right)=2$ƒ ´(3)=2 

Bevisa att den triangel som innesluts av de positiva koordinataxlarna och en tangent till kurvan  $y=\frac{1}{x}$y=1x  har arean $2$2 areaenheter oavsett var tangenten tangerar kurvan. Utgå från att tangeringspunkten har koordinaterna  $\left(a,\text{ }\frac{1}{a}\right)$(a, 1a )