Nationellt Prov Matematik 3c vt 2017 DEL B och C

Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i elevhäftet.

Bestäm $-|4-3|$−|4−3|

Figuren visar en cirkel med medelpunkten i origo och arean $34\pi$34π areaenheter.

Ange cirkelns ekvation.

Funktionen $f$ƒ har derivatan $f'(x) = 3x^2 + 1$ƒ ´(x)=3x²+1, se figur.

Undersök hur många reella lösningar ekvationen $f(x) = 0$ƒ (x)=0 har.

Nedan visas grafen till en funktion $f$ƒ . Grafen är en rät linje.

Funktionen $f$ƒ har en primitiv funktion $F$F för vilken det gäller att $F(0) = 5$F(0)=5.

Bestäm $F(10)$F(10).

För funktionen $f$ƒ gäller att $f(x) = 3x^3 – 36x$ƒ (x)=3x³−36x.

Använd derivata och bestäm koordinaterna för eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter för funktionens graf. Bestäm också karaktären för respektive punkt.

För en polynomfunktion $f$ƒ av sjunde graden gäller att:

• Ekvationen $f'(x) = 0$ƒ ´(x)=0 har sex olika reella lösningar.
• Grafen till $f$ƒ har ingen terrasspunkt.
• En av extrempunkterna har negativ $y$y-koordinat och de övriga extrempunkterna har positiva $y$y-koordinater.

Hur många reella lösningar har ekvationen $f(x) = 0$ƒ (x)=0?

Diagrammet visar antalet nyckelpigor per kvadratmeter på en äng under några dagar i juni månad. Mätningarna är utförda klockan 12.00 de aktuella dagarna.

Ett av alternativen A–E anger den tidsperiod när den genomsnittliga förändringshastigheten av antalet nyckelpigor är som störst. Vilket?

• A. 4–14 juni
• B. 7–8 juni
• C. 6–10 juni
• D. 7–14 juni
• E. 9–10 juni

Guillaume l’Hospital var en fransk matematiker som levde under slutet av 1600-talet. Han undersökte gränsvärden och kom fram till en regel som gör det enklare att beräkna vissa typer av gränsvärden.

l’Hospitals regel:

Gränsvärdet $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$lim_x→aƒ (x)g(x) är under vissa förutsättningar lika med  $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$lim_x→aƒ ’(x)g’(x) .

Använd l’Hospitals regel för att bestämma gränsvärdet:

 $\lim_{x\to1}\frac{x^7-1}{x^9-1}$lim_x→1x⁷−1x⁹−1  

För vilka värden på $x$x är uttrycket  $\frac{x^2+4x}{x-3x^2}$x²+4xx−3x²   inte definierat?

Figuren visar en triangel där ett antal vinklar och sträckor är uppmätta.

Använd figuren och bestäm det heltal som är det bästa närmevärdet till a i ekvationen
$a\text{ }\sin 40^{\circ}=52\text{ }\sin 110^{\circ}$a sin 40°=52 sin 110°

Figuren visar ett rätblock med kvadratisk basyta.

Rätblockets volym $V$V som funktion av basytans sidlängd  $x$x  beskrivs av  $V(x)=x^3+5x^2$V(x)=x³+5x².

Bestäm höjden  $h$h  uttryckt i  $x$x . Svara i enklaste form.

$h =$h= $\quad\quad$  

Bestäm $f'(x)$ƒ ´(x) om $f(x) = x\sqrt{x}$ƒ (x)=xx.

$f'(x) =$ƒ ´(x)= $\quad\quad$  

I början av år 2015 fanns 300 papegojor av en viss art i ett område. Naturvårdare planterar ut lika många papegojor i början av varje år med start år 2016.

Enligt en förenklad modell kan antalet papegojor $P$P i området beskrivas med funktionen

 $P(x)=300\cdot0,95^x-20A(0,95^x-1)$P(x)=300·0,95^x−20A(0,95^x−1) 

där $A$A är antalet papegojor som planteras ut varje år och $x$x är tiden i år räknat från början av år 2015.

Bestäm hur många papegojor som ska planteras ut varje år för att antalet med tiden ska närma sig 500.

Bestäm $f'(x)$ƒ ´(x).

Bestäm $f'(1)$ƒ ´(1).

$f'(1) =$ƒ ´(1)= $\quad\quad$  

Ett av alternativen A–D är korrekt. Vilket?

A.  Grafen till funktionen har en terrasspunkt.
B.  Grafen till funktionen har en maximipunkt.
C.  Grafen till funktionen har en minimipunkt.
D.  Grafen till funktionen har en inflektionspunkt.

$f'(x) = 0$ƒ ´(x)=0

$f'(x) < 0$ƒ ´(x)<0

$f”(x) > 0$ƒ ´´(x)>0

Delprov C: Digitala verktyg är inte tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper.

För funktionen $f$ƒ gäller att $f(x) = 4x^2 – x^4 + A$ƒ (x)=4x²−x⁴+A där $A$A är en konstant.

Figuren visar grafen till funktionen $f$ƒ då $A = 0$A=0.

Sabina säger: ”Funktionen har alltid tre extrempunkter oavsett värde på konstanten $A$A.”

Har Sabina rätt? Motivera ditt svar.

Området begränsas av $x$x-axeln, grafen till $f(x) = 9x^2$ƒ (x)=9x² samt linjen $x = 2$x=2.

Området begränsas av $x$x-axeln, grafen till $f(x) = \frac{3}{x^2}$ƒ (x)=3x² samt linjerna $x = 1$x=1 och $x = 4$x=4.

Area = $\quad\quad$   a.e.

$\frac{(x-5)(x-5)}{5-x} + \frac{(5-x)(5-x)}{5-x}$(x−5)(x−5)5−x +(5−x)(5−x)5−x

$\frac{(x-3)^7 – (x-3)^6}{x-4}$(x−3)⁷−(x−3)⁶x−4

$\frac{e^{3x} – e^x}{e^{2x} – e^{2x} \cdot e^{-2x}}$e^3x−e^xe^2x−e^2x·e^−2x