Nationellt prov Matematik 3c vt 2022 del D

Funktionen $f$ƒ  som ges av $f\left(x\right)=\left(2x-1\right)^5$ƒ (x)=(2x−1)⁵  kan inte deriveras med hjälp av deriveringsreglerna inom denna kurs.

Använd ditt digitala verktyg för att beräkna ett värde på $f’\left(2\right)$ƒ ’(2) .
Endast svar krävs.

I en triangel är en sida $6,6$6,6 cm och en annan sida $5,1$5,1 cm. Två av triangelns vinklar är  $42^{\circ}$42^∘ och $120^{\circ}$120^∘. Se figur.

Bestäm triangelns area genom att använda någon eller några av triangelsatserna (sinussatsen, cosinussatsen och areasatsen).

Pojkars längd kan beskrivas med den enkla modellen $f\left(x\right)=78\cdot e^{0,07x}$ƒ (x)=78·e^0,07x  där  $f\left(x\right)$ƒ (x)  är längden i centimeter och $x$x är pojkars ålder i år.

a) Bestäm vid vilken ålder som pojkar är $125$125 cm långa enligt modellen.

b) Använd modellen och bestäm hur snabbt pojkar växer då de är exakt $6$6 år. 

c) Undersök om modellen även är giltig för pojkar som går på gymnasiet.

Grafen till funktionen $f\left(x\right)=3x^2+4x$ƒ (x)=3x²+4x har en tangent i den punkt där $x=2$x=2
Tangentens ekvation kan skrivas $y=kx-12$y=kx−12

Bestäm $k$k.

Funktionerna $f$ƒ  och $g$g ges av  $f\left(x\right)=$ƒ (x)=$\frac{12}{x}+$12x +$8x$8x och  $g\left(x\right)=\sqrt{x}$g(x)=√x 

Lös ekvationen  $f’\left(x\right)=g’\left(x\right)$ƒ ’(x)=g’(x).  Svara med minst två decimaler.

Figuren visar triangeln $ABC$ABC där en punkt $D$D är markerad på sidan $AC$AC. Några mått och vinklar finns givna i figuren.

Bestäm längden av sträckan $BD$BD genom att använda någon eller några av triangelsatserna (sinussatsen, cosinussatsen och areasatsen).

Funktionen $f$ƒ  ges av $f\left(x\right)=2^x$ƒ (x)=2^x. Figuren visar grafen till funktionen $f$ƒ  samt en sekant mellan två punkter på grafen.

Till grafen dras en tangent som är parallell med sekanten. Bestäm $x$x-koordinaten för tangeringspunkten.
Svara med minst två decimaler

Funktionen $f$ƒ  ges av 

 $f\left(x\right)=a\left(x-a\right)\left(x-2a\right)\left(x-3a\right)=ax^3-6a^2x^2+11a^3x-6a^4$ƒ (x)=a(x−a)(x−2a)(x−3a)=ax³−6a²x²+11a³x−6a⁴ 

där $a$a är en konstant,  $a>0$a>0 
Grafen till $f$ƒ  skär $x$x -axeln i punkterna $P,\text{ }\text{ }\text{ }Q$P, Q  och $R$R. Se figur.

Visa algebraiskt att tangenterna till grafen i punkterna $P$P och $R$R är parallella oavsett värde på konstanten $a$a .

Wilma har en gammal moped.

Bensinförbrukningen för mopeden kan beskrivas med den förenklade modellen $f\left(x\right)=0,3+0,5e^{-0,76x}$ƒ (x)=0,3+0,5e^−0,76x där $f\left(x\right)$ƒ (x) är bensinförbrukningen i liter/mil och $x$x är sträckan i mil från start.

Wilma startar med $4,0$4,0 liter bensin i tanken. Bestäm hur lång sträcka Wilma kan köra som längst innan bensinen tar slut enligt modellen.

Konstsmeden Suzanna tänker göra smycken av silver och guld. Varje smycke ska bestå av en rektangulär silverplatta och en guldtråd. Guldtråden ska lödas fast $8$8 mm från silverplattans hörn. Se figur.

Guldtråd är dyr och hon vill därför använda så lite guld som möjligt till smycket. Smycket får inte heller väga för mycket och därför bestämmer Suzanna att en silverplatta ska ha arean $550\text{ }mm^2$550 mm².

Bestäm vilken längd guldtråden får om Suzanna använder så lite guldtråd som möjligt till smycket.