Nationellt prov Matematik 2a vt 2016 DEL B och C

En rät linje har ekvationen  $y=3x+2$y=3x+2 

a) Ange koordinaterna för en punkt som ligger på linjen.

b) Ange ekvationen för en annan rät linje som är parallell med linjen  $y=3x+2$y=3x+2 

Figuren visar grafen till en funktion  $f$ƒ  , där  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x).

Ett av alternativen A–F visar funktionens definitionsmängd. Vilket?

A.  $-2\le$−2≤ $x\le0$x≤0 
B.  $-2\le$−2≤ $x\le4$x≤4 
C.  $-4\le$−4≤ $x\le2$x≤2 
D.    $0\le$0≤ $y\le2$y≤2 
E.  $-2\le$−2≤ $y\le4$y≤4 
F.  $-4\le$−4≤ $y\le2$y≤2 

Andragradsekvationen  $x^2-a=0$x²−a=0  har lösningarna  $x_1=5$x₁=5  och  $x_2=-5$x₂=−5 

Bestäm värdet på  $a$a.

Tuva är medlem i Strömbäcks Kajakklubb. Medlemskapet kostar  $350$350  kr per säsong och då får hon hyra en kajak för  $125$125  kr per dygn.

a) Ange ett samband på formen  $y=kx+m$y=kx+m  för den totala kostnaden  $y$y  kronor för att hyra en kajak  $x$x  dygn under en säsong.

Under en säsong betalade Tuva totalt  $850$850  kr.
b) Hur många dygn hyrde Tuva en kajak under säsongen?

Figurerna A–F visar grafer till sex olika potensfunktioner.

a) Vilken av figurerna visar grafen till  $y=$y= $\frac{1}{x^{0,5}}$1x^0,5  ?

b) Skriv om funktionen  $y=$y= $\frac{1}{x^{0,5}}$1x^0,5   på formen  $y=C\cdot x^a$y=C·x^a.

Lös ekvationerna. Svara exakt.

a)  $x^5=3$x⁵=3 

b)  $\left(1+\frac{x}{100}\right)^{\frac{1}{3}}=2$(1+x100 )¹³ =2 

Figuren visar en del av grafen till en andragradsfunktion  $f$ƒ , där  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x).

a) Ange funktionens nollställen.

b) Bestäm  $f\left(11\right)$ƒ (11).

c) Lös ekvationen  $f\left(x+1\right)=-1$ƒ (x+1)=−1 

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

 $\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x-1}\right)\left(\sqrt{2x+1}-\sqrt{2x-1}\right)$(√2x+1+√2x−1)(√2x+1−√2x−1) 

Det finns oändligt många linjer  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x)  som skär  $x$x-axeln då  $x=4$x=4. Det går att bilda andragradsfunktioner  $g$g  sådana att  $g\left(x\right)=x\cdot f\left(x\right)$g(x)=x·ƒ (x). Graferna till samtliga sådana andragradsfunktioner  $g$g  går genom två gemensamma punkter.

Ange koordinaterna för de två gemensamma punkterna.

Karin har fått i uppgift att lösa ekvationssystemet $\begin{cases} 3x+2y=14 \\ 2x-y=7 \end{cases}$

Hon börjar med att lösa ut  $y$y  ur båda ekvationerna och skriver om ekvationssystemet till:

a) Har Karin löst ut  $y$y  på ett korrekt sätt ur de båda ekvationerna? Motivera ditt svar.

b) Lös ekvationssystemet  $\begin{cases} 3x+2y=14 \\ 2x-y=7 \end{cases}$  med algebraisk metod.

Lös ekvationerna med algebraisk metod. Svara exakt.

a)  $x^2-8x+7=0$x²−8x+7=0 

b)  $\left(x-4\right)^2=2\left(x-4\right)$(x−4)²=2(x−4) 

c)  $\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{x}$(18 )¹³ +(18 )¹³ +(18 )¹³ +(18 )¹³ =1x 

Figuren visar en rät linje som går genom punkterna  $A\left(-3,92\right)$A(−3,92),  $B\left(b,60\right)$B(b,60) och  $C\left(5,28\right)$C(5,28).

Bestäm  $x$x-koordinaten  $b$b  för punkten  $B$B.

För en funktion  $A$A  gäller att  $A\left(x\right)=-\frac{3}{2}x^2+30x$A(x)=−32 x²+30x 

a) Har funktionen  $A$A  ett maximum? Motivera ditt svar.

b) Bestäm koordinaterna för funktionens maximi-/minimipunkt.

En funktion  $f$ƒ   kan skrivas på formen  $f\left(x\right)=kx+m$ƒ (x)=kx+m  där  $k$k  och  $m$m  är konstanter. Undersök vilka värden  $k$k  och  $m$m  kan ha för att likheten  $f\left(a+b\right)=f\left(a\right)+f\left(b\right)$ƒ (a+b)=ƒ (a)+ƒ (b)  ska gälla för alla värden på  $a$a  och  $b$b.

a) Lös ekvationen och svara exakt.

 $\left(x^3-5\right)^{\frac{1}{5}}=4^{\frac{1}{10}}$(x³−5)¹⁵ =4¹¹⁰  

b) I vilket av följande intervall A–F finns lösningen till ekvationen $\left(x^3-5\right)^{\frac{1}{5}}=4^{\frac{1}{10}}$(x³−5)¹⁵ =4¹¹⁰  ? Motivera ditt svar.

A.  $0,5\le x$0,5≤x $<1$<1 

B.  $1\le x$1≤x $<1,5$<1,5 

C.  $1,5\le x$1,5≤x $<2$<2 

D.  $2\le x$2≤x $<2,5$<2,5 

E.  $2,5\le x$2,5≤x $<3$<3 

F.  $3\le x$3≤x $<3,5$<3,5