Nationellt prov Matematik 3c ht 2012 DEL D

Bestäm det värde på $x$x där derivatan till $f(x)=x^2+5x$ƒ (x)=x²+5x är lika med derivatan till $g(x)=-5x^2+14x$g(x)=−5x²+14x.

Kanadagåsen infördes till Sverige på $1930$1930-talet. Därefter har populationen ökat. Vid samma tidpunkt varje år görs en inventering av antalet kanadagäss.

Populationens tillväxt kan beskrivas med en exponentiell modell. Diagrammet nedan visar antalet kanadagäss $K$K som funktion av tiden $t$t år, där $t=0$t=0 motsvarar år $1977$1977.

a) Bestäm ett närmevärde till $K'(30)$K´(30) med hjälp av grafen.

Kanadagåsen infördes till Sverige på $1930$1930-talet. Därefter har populationen ökat. Vid samma tidpunkt varje år görs en inventering av antalet kanadagäss.

Populationens tillväxt kan beskrivas med en exponentiell modell. Diagrammet nedan visar antalet kanadagäss $K$K som funktion av tiden $t$t år, där $t=0$t=0 motsvarar år $1977$‍1977.

b) Ge en tolkning av vad $K'(20)=800$K´(20)‍=800 betyder för antalet kanadagäss i detta sammanhang.

I figuren visas en tomt som har sidlängderna $100$100 m, $70$70 m och $85$85 m. Bestäm tomtens area.

En cirkel har ekvationen $x^2-2x+y^2-y=0,5$x²−2x+y²−y=0,5

Ligger punkten $\left(1,\text{ }2\right)$(1, 2) på cirkeln?

Motivera ditt svar.

Ingår inte i kursen från och med 2021

En cirkel har ekvationen $x^2-2x+y^2-y=0,5$x²−2x‍+y²−y=0,5

Cirkeln har sin medelpunkt i $\left(1;\text{ }0,5\right)$(1; 0,5).

Bestäm cirkelns area.

Är följande påstående korrekt? 

 $F\left(x\right)=3e^x$F(x)=3e^x är en primitiv funktion till $f\left(x\right)=e^{3x}$ƒ (x)=e^3x

Motivera ditt svar.

Är följande påstående korrekt? Grafen till $f\left(x\right)=x^3+ax$ƒ (x)=x³+ax har tre olika nollställen om konstanten $a\le0$a≤0

Motivera ditt svar.

Karolina häller upp en kopp kaffe i ett rum där temperaturen är $20$20 °C. Hon mäter kaffets temperatur direkt och därefter varje minut under de första fem minuterna.

Karolina anpassar sedan en matematisk modell till sina mätvärden: $T(t)=95e^{-0,039t}$T(t)=95e^−0,039t där $T$T är kaffets temperatur i °C och $t$t är tiden i minuter efter att Karolina startade sin mätning av temperaturen.

a) Bestäm temperaturen hos kaffet då Karolina startade sin mätning.

Karolina häller upp en kopp kaffe i ett rum där temperaturen är $20$20 °C. Hon mäter kaffets temperatur direkt och därefter varje minut under de första fem minuterna.

Karolina anpassar sedan en matematisk modell till sina mätvärden

   $T(t)=95e^{-0,039t}$T(t)=95e^−0,039t 

där $T$T är kaffets temperatur i °C och $t$t är tiden i minuter efter att Karolina startade sin mätning av temperaturen.

b) Bestäm med hur många procent temperaturen hos kaffet minskar per minut.

Karolina häller upp en kopp kaffe i ett rum där temperaturen är $20$20 °C. Hon mäter kaffets temperatur direkt och därefter varje minut under de första fem minuterna.

Karolina anpassar sedan en matematisk modell till sina mätvärden:  $T(t)=95e^{-0,039t}$T(t)=95e^−0,039t 
där $T$T är kaffets temperatur i °C och $t$t är tiden i minuter efter att Karolina startade sin mätning av temperaturen.

c) Karolinas modell stämmer väl överens med verkligheten i början. Utvärdera hur väl hennes modell stämmer överens med verkligheten över tid.

Italienaren Tartaglia var en matematiker som levde på $1500$1500-talet. Han anses ha formulerat följande matematiska problem, här återgivet i modern översättning

Summan av två positiva tal är $8$8. Bestäm talen så att produkten av talens differens och talens produkt blir så stor som möjligt.

Din uppgift är att lösa Tartaglias matematiska problem.

För en tredjegradsfunktion $f$ƒ  gäller att

• $f'(2)=-1$ƒ ´(2)‍=−1
• $f''(4)=0$ƒ ´´(4)=0

Bestäm $f'(6)$ƒ ´(6)

När Mario föds bestämmer sig hans mormor för att spara pengar åt honom i en burk. Mormor tänker lägga ett belopp som motsvarar kvadraten av Marios ålder multiplicerat med $100$100, varje gång han fyller år.

Marios farbröder Sergio och Riccardo funderar över hur mycket pengar mormor kommer att ha i burken på Marios $6$6-årsdag.

Sergio säger: Man får reda på hur mycket pengar som finns i burken genom att beräkna integralen $\int_0^6100x^2dx$∫₀⁶100‍x²dx.

Riccardo funderar ett tag och svarar: Nej, den ger ett för litet värde.

Förklara varför integralen ovan ger ett för litet värde om man använder den för att räkna ut hur mycket pengar det finns i burken på Marios $6$6-årsdag.